第18讲　动能 动能定理
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变化量
ΔEk
4.说明
(1)确定研究对象和研究过程；
(2)对研究对象进行受力分析，求出合外力做的功；
(3)对研究过程进行分析，求出过程的初、末动能；
(4)利用动能定理列式并解答．
 4.说明
(1)凡涉及功、位移、初末速度的力学过程，一般优先考虑使用动能定理求解；
(2)求合外力的功既可以直接求合力的功，也可以先求各力的功再取代数和；
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(3)动能定理只适用于单个物体的过程，对系统所发生的过程不适合建立动能定理的方程；
(4)动能定理表达式是一个标量式，在某一个方向上应用动能定理是没有根据的；
(5)对一个物体所发生的多过程问题，可对全过程应用动能定理求解．
►　探究点一　对动能定理的理解及使用的基本步骤
1.动能定理的理解
(1)动能定理的计算式为标量式，v为相对同一参考系(一般以地面或相对地面静止的物体为参考系)的速度．
  (2)动能定理的研究对象是单一物体，或者是可以看成单一物体的物体系．
  (3)动能定理适用于物体的直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功，力可以是各种性质的
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力，既可以同时作用，也可以分段作用，只要求出作用过程中各力做功的多少和正负即可．这些正是动能定理解题的优越性所在．
(4)若物体运动的过程中包含几个不同过程，应用动能定理时，可以分段考虑，也可以视全过程为一整体来处理．
(5)动能定理公式中等号的意义
等号表明合力做功与物体动能的变化间的三个关系：
①数量关系：即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系．可以通过计算物体动能的变化，求合力的功，进而求得某一力的功．
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②单位关系：国际单位都是焦耳．
③因果关系：合外力的功是物体动能变化的原因．
(6)动能定理中涉及的物理量有力、位移、质量、速度、功、动能等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理．由于只需要从力在整个位移内做的功和这段位移始末两状态动能变化去考虑，无需注意其中运动状态变化的细节，同时动能和功都是标量，无方向性，所以无论是直线运动还是曲线运动，计算都会特别方便．
2.应用动能定理解题的一般思路
(1)确定研究对象和研究过程．注意动能定理可应用于单个物体，也可应用于系统，对系统应用动能定理时应考虑系统
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内力做的功．
(2)对研究对象进行受力分析(研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力)．
(3)写出该过程中合外力做功的表达式，或分别写出各个力做功(注意功的正负)的表达式．如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做功的表达式．
(4)写出物体的初、末动能的表达式．
(5)按照动能定理列式求解.

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例1　[2010·济南模拟] 如图18－1所示，电梯质量为M，地板上放着一质量为m的物体．钢索拉电梯由静止开始向上
加速运动，当上升高度为H时，速度达到v，则(　　)

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[点评] 用动能定理解题时，关键是对研究对象进行准确地受力分析及运动过程分析，并画出物体运动过程的草图，以便更准确地理解物理过程和各量关系．有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，在计算外力做功时更应引起注意．

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[2010·全国卷Ⅱ] 如图18－2所示，MNP为竖直面内一固定轨道，其圆弧段MN与水平段NP相切于N，P端固定一竖直挡板．M相对于N的高度为h，NP长度为s.一物块自M端从静止开始沿轨道下滑，与挡板发生一次完全弹性碰撞后停止在水平轨道上某处．若在MN段的摩擦可忽略不计，物块与NP段轨道间的滑动摩擦因数为μ，求物块停止的地方与N点距离的可能值．
变式题

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式题

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►　探究点二　用动能定理求解变力做功问题
对于恒力作用下的匀变速直线运动，若不涉及加速度和时间，利用动能定理求解一般比用牛顿定律及运动学公式求解要简单得多．用动能定理还能解决一些在中学应用牛顿定律难以解决的变力做功的问题、曲线运动等问题.

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[点评] 物体受到力的大小、方向不断变化，力所做的功不能直接利用功的公式进行求解，但是力所做的功全部转化为物体的动能，这种情况下，就可以利用动能定理和外力做功的等量关系求出答案．

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变式题

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►　探究点三　用动能定理求解多过程、多物体问题
1.应用动能定理处理多过程问题的理论依据
动能定理反映的是物体两个状态的动能变化与在这两个状态之间外力所做总功的量值关系，因此对由初始状态到终止状态这一过程中物体的运动性质、运动轨迹、做功的力是恒力还是变力等诸多问题不必追究，就是说应用动能定理不受这些问题的限制．
2.用动能定理解决问题时，所选取的研究对象可以是单个物体，也可以是多个物体组成的系统．当选取物体系统作为研究对象时，应注意以下几点：
(1)当物体系统内的相互作用是杆、绳间的作用力，或是静摩擦力，或是刚性物体之间相互挤压而产生的力时，作用力与

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反作用力的总功等于零，这时列动能定理方程时只要考虑 物体系统所受的合外力的功即可．
(2)当物体系统内的相互作用力是弹簧、橡皮条的作用力，或是滑动摩擦力时，作用力与反作用力的总功不等于零，这时列动能定理方程时不但要考虑物体系统所受的合外力的功，还要考虑物体间的相互作用力的功．
(3)物体系统内各个物体的速度不一定相同，列式时要分别表达不同物体的动能．
3.多过程问题的求解策略
(1)分析物体的运动，确定物体运动过程中不同阶段的受力情况，分析各个力的功．
  (2)分析物体各个过程中的初、末速度，在不同阶段运用动

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能定理求解，此为分段法．这种方法解题时需分清物体各阶段的运动情况，列式较多．
(3)如果能够得到物体全过程初、末动能的变化及全过程中各力的功，对全过程列一个方程即可．
4.运用动能定理应注意的问题
应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无需深究物体运动过程中变化的细节，只考虑整个过程中的功及过程的始末的动能．若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可以分段考虑，也可以整个过程考虑．但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同的情况分别对待求出总功，计算时要把各力的功连同符号(正、负)一同代入公式.

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例3　[2009·宁夏卷]冰壶比赛是在水平冰面上进行的体育项目，比赛场地示意如图18－5所示．比赛时，运动员从起滑架处推着冰壶出发，在投掷线AB处放手让冰壶以一定的速度滑出，使冰壶的停止位置尽量靠近圆心O.为使冰壶滑行得更远，运动员可以用毛刷擦冰壶运行前方的冰面，使冰壶与冰面间的动摩擦因数减小．设冰壶与冰面间的动摩擦因数为μ1＝0.008，用毛刷擦冰面后动摩擦因数减少至μ2＝0.004.在某次比赛中，运动员使冰壶C在投掷线中点处以2 m/s的速度沿虚线滑出．为使冰壶C能够沿虚线恰好到达圆心O点，运动员用毛刷擦冰面的长度应为多少？(g取10 m/s2)

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[点评] 解决多过程问题的关键是根据物体运动过程中的受力情况准确分析出物体所经历的各个阶段的运动状态，根据每个运动状态的各个力的受力特点及做功特点利用动能定理就可以解决问题．

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变式题
1 质量为M的机车牵引质量为m 的车厢在水平轨道上匀速前进，某时刻车厢与机车脱节，机车前进了 L后，司机才发现，便立即关闭发动机让机车滑行．假定机车与车厢所受阻力与其重力成正比且恒定．试求车厢与机车都停止时两者的距离．

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[点评] 当题中涉及多个物体时，要注意灵活选取研究对象，找出各物体间位移或时间的关系，分别对各物体应用动能定理，必要时列方程组求解．

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2 [2010·青岛模拟] 如图18－6甲所示，一质量为m＝1 kg的物块静止在粗糙水平面上的A点，从t＝0时刻开始，物块受到按如图乙所示规律变化的水平力F作用并向右运动，第3 s末物块运动到B点时速度刚好为0，第5 s末物块刚好回到A点．已知物块与粗糙水平面之间的动摩擦因数μ＝0.2，g取10 m/s2，求：
(1)A与B间的距离；
(2)水平力F在5 s内对物块所做的功．
变式题

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►　探究点四　用动能定理求解弹簧问题
例4　如图18－7甲所示，一条轻质弹簧左端固定在竖直墙面上，右端放一个可视为质点的小物块，小物块的质量为m＝1.0 kg，当弹簧处于原长时，小物块静止于O点．现对小物块施加一个外力F，使它缓慢移动，将弹簧压缩至A点，压缩量为x＝0.1 m，在这一过程中，所用外力F与压缩量的关系如图乙所示．然后撤去F释放小物块，让小物块沿桌面运动，已知O点至桌边B点距离为L＝2x，水平桌面的高为h＝5.0 m，计算时，可用滑动摩擦力近似等于最大静摩擦力．(g取10 m/s2)求：

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(1)在压缩弹簧过程中，弹簧贮存的最大弹性势能．
(2)小物块到达桌边B点时速度的大小．
(3)小物块落地点与桌边B的水平距离．

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[点评] 本题以弹簧为载体，结合图象来综合考查动能、 动能定理的内容，这种综合度大但试题并不是太复杂、难度并不是太大的情况近来在高考试卷中常有出现．这类题的综合信息强，对学生的能力要求也相对较高，使高考命题与新课标的要求靠得更紧密一些，是近年高考命题的基本趋势．
解得vB＝2 m/s
(3)物块从B点开始做平抛运动
下落时间t＝1 s
水平距离s＝vBt＝2 m

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变式题
[2009·福建卷]如图18－8甲所示，在水平地面上固定一倾角为θ的光滑绝缘斜面，斜面处于电场强度大小为E、方向沿斜面向下的匀强电场中．一劲度系数为k的绝缘轻质弹簧的一端固定在斜面底端，整根弹簧处于自然状态．一质量为m、带电荷量为q(q>0)的滑块从距离弹簧上端为s0处由静止释放，滑块在运动过程中电量保持不变，设滑块与弹簧接触过程没有机械能损失，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度大小为g.
(1)求滑块从静止释放到与弹簧上端接触瞬间所经历的时间t1.
(2)若滑块在沿斜面向下运动的整个过程中最大速度大小为vm，求滑块从静止释放到速度大小为vm的过程中弹簧的弹力所做的功W.

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(3)从滑块静止释放瞬间开始计时，请在图乙中画出滑块在沿斜面向下运动的整个过程中速度与时间关系v－t图象．图中横坐标轴上的t1、t2及t3分别表示滑块第一次与弹簧上端接触、第一次速度达到最大值及第一次速度减为零的时刻，纵坐标轴上的v1为滑块在t1时刻的速度大小，vm是题中所指的物理量．(本小题不要求写出计算过程)

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