高考物理总复习
专题四 曲线运动 万有引力定律
第四章 曲线运动 万有引力定律
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第一课时　运动的合成与分解
一、曲线运动
1、曲线运动特点：做曲线运动的物体在某点的速度方向，沿着曲线在该点的切线方向，因此速度方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动．
2、匀变速曲线运动和非匀变速曲线运动：加速度a恒定的曲线运动为匀变速曲线运动，加速度a变化的曲线运动为非匀变速曲线运动．
3、物体做曲线运动和直线运动的条件：如果物体所受合外力的方向和速度方向不在同一直线上(即加速度方向和速度方向不在同一直线上)，则物体做曲线运动．反之，则物体做直线运动．
⑴如果合外力的大小和方向都是恒定的，即所受的力为恒力，物体就做匀变速曲线运动。如平抛运动。
⑵如果合外力大小恒定，方向始终与速度垂直，物体就做匀速圆周运动，匀速圆周运动 是非匀变速曲线运动。
⑶当物体受到合外力方向与速度的夹角为锐角时，物体运动的速率将增大；当物体受到的合外力方向与速度的夹角为钝角时，物体运动的速率将减小.
说明：
⑷做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指的方向弯曲，物体的轨迹一定在合外力方向和速度方向之间．若已知物体的运动轨迹，可判断出物体
所受合外力的大致方向。若已知合外
力的方向和速度的方向，可判断出物
体运动轨迹的大致方向。
二、运动的合成与分解
1、合运动与分运动
一个物体的实际运动往往参与几个运动，我们把这几个运动叫做实际运动的分运动，把这个实际运动叫做这几个分运动的合运动．
2、运动的合成：已知分运动求合运动的过程，叫运动的合成．
3、运动的分解：已知合运动求分运动的过程，叫运动的分解．
4、运算法则：运动的合成与分解包括位移、速度和加速度的合成与分解，遵守平行四边形定则．
两分运动垂直时或正交分解后的合成：
⑴θ=0，直线运动
⑵θ≠0，曲线运动
⑶轨迹的走向？
关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动,下述说法正确的是( )A.一定是直线运动B.一定是抛物线运动C.可能是直线运动,也可能是抛物线运动D.以上说法都不对
例与练
C
5、合运动与分运动的特征
⑴运动的合成与分解符合平行四边形定则．分运动共线时变成了代数相加减——矢量性
⑵合运动与分运动具有时间上的对应关系——同时性
⑶每个分运动都是独立的，不受其他运动的影响——独立性
⑷合运动的性质是由分运动决定的——相关性
⑸实际表现出来的运动是合运动
⑹速度、时间、位移、加速度要一一对应
⑺运动的分解要根据力的作用效果(或正交分解)
注意:
一个速度按矢量运算法则分解为两个分速度，数量关系上也许无误，但若与实际情况不符，则所得分速度毫无物理意义。速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解，物体的实际运动方向就是合速度的方向。
只有物体的实际运动，才是能供分解的“合运动”。
如图所示，货车正在以a1=0.1 m/s2的加速度启动，同时，一只壁虎以v2=0.2 m/s的速度在货车壁上向上匀速爬行。试求：
(1)经过2 s时，地面上的人看到壁虎的速度大小和方向。
(2)经过2 s时壁虎相对于地面发生的位移大小。
(3)在地面上观察壁虎做直线运动还是曲线运动？
答案：(1)0.28 m/s，与水平方向成45°
(2)0.45 m
(3)曲线运动
例与练
如图所示，一物体在水平恒力作用下沿光滑水平面做曲线运动，当物体从A点运动到B点时，其速度方向恰好改变900，则物体在A点到B点的运动过程中，动能将（ ）
A、不断增大
B、不断减小
C、先减小后增大
D、先增大后减小
C
例与练
如图所示，甲、乙两运动员同时从水流湍急的河流两岸下水游泳，甲在乙的下游且游速大于乙，欲使两人尽快在河中相遇，则应选择的游泳方向是（ ）
A、都沿虚线偏下游方向游
B、都沿虚线方向朝对方游
C、甲沿虚线方向，乙沿虚线偏上游方向游
D、乙沿虚线方向，甲沿虚线偏上游方向游
B
例与练
在同一个竖直面内，以相同的初速度从同一点同时向各个方向抛出几个小球，经时间t（所有的球都没有落地），这些小球所处的位置有什么特点？
例与练
答案：在同一个圆周上
解析：各个方向的运动都是匀速直线运动和自由落体运动的合运动。
三、运动合成与分解的两种模型
1．小船过河模型分析
(1)把握三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v合(船的实际速度即合速度)
(2)分清三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸如图(甲)所示．最短时

间为 (d为河宽)．
②过河位移最短(v2＜v1)时：合速度垂直河岸，船头偏向上游如图(乙)所示．此情景最短位移s＝d(d为河宽)

过河时间 .
③过河路径最短(v2＞v1)时：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图(丙)所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。
由图可知： 渡河时间：
最短航程：
船漂下的最短距离：
小船过河，河宽为90 m，船在静水中航行速度是3 m/s，水流速度是4 m/s，则( )
A.船渡过河的最短时间为30 s
B.小船渡河的最短路程为90 m
C.船头偏向上游某一角度可使船以最短路程过河
D.小船渡河的最短路程为150 m
AC
例与练
有一小船正在横渡一条宽为30 m的河流，在正对岸下游40 m处有一危险水域，假若水流速度为5 m/s，为了使小船在危险水域之前到达对岸。那么，小船相对于静水的最小速度是多少?
答案:3 m/s
例与练
南风速度为4 m/s，大河中的水流正以3 m/s的速度向东流动，船上的乘客看见轮船烟囱冒出的烟柱是竖直的，求轮船相对于水的航行速度是多大? 什么方向?
解析：烟柱竖直，轮船实际运动应同风速相同。
例与练
答案：轮船相对于水的速度大小为5m/s，方向是北偏西370。
2．“绳牵物体”或“物体牵绳”类模型分析
(1)合运动方向：物体实际运动的方向就是合运动的方向．
(2)两个分运动的方向：绳子末端运动的效果有两个，一个是沿牵引方向的平动效果，改变速度的大小；二是垂直于牵引方向的转动效果，改变速度的方向．因此，此类问题中两分运动的方向分别为沿绳和垂直于绳的方向．
提示：
解答绳、杆类问题时要注意，不可伸长的绳或杆尽管各点的速度不同，但各点速度沿绳或杆方向的投影相同．
如图所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳的速度为v，当拉船头的绳索与水平面的夹角为α时，船的速度是多少？
例与练
答案：
如图所示，物体A和B的质量均为m，且分别与轻绳连接跨过定滑轮(不计绳子与滑轮，滑轮与轴之间的摩擦)，当用水平拉力F拉物体B沿水平向右做匀速直线运动的过程中( )
A．物体A也做匀速直线运动
B．绳子拉力始终大于物体A所受的重力
C．绳子对A物体的拉力逐渐增大
D．绳子对A物体的拉力逐渐减小
BD
例与练
如图所示，重物A、B由刚性绳拴接，跨过定滑轮处于图中实线位置，此时绳恰好拉紧，重物静止在水平面上，用外力水平向左推A，当A的水平速度为vA时，如图中虚线所示，求此时B的速度vB=________.
例与练
如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连。由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A球上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2，则( )A. v2=v1 B. v2>v1C. v2≠0 D. v2=0
D
例与练
如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地上通过铰链联结形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，绕过两个滑轮后挂上重物M，C点与O点距离为l。现在杆的另一端用力．使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓缓转至水平位置(转过了90°角)，此过程中下述说法正确的是(　　 )
A．重物M做匀速直线运动
B．重物M做匀变速直线运动
C．重物M的最大速度是ωl
D．重物M的速度先减小后增大
C
例与练
第二课时　平抛运动
一、平抛运动
1、定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动，叫做平抛运动．
2、性质：平抛运动是加速度为重力加速度(g)的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
3、平抛运动的研究方法
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．
1、位移关系：
二、平抛运动的规律
θ为位移偏角
2、速度关系：
α为速度偏角
3、平抛运动的基本特点
⑴飞行时间： ，取决于物体下落的高度h，与初速度v0无关。
⑵水平射程： ，由平抛初速度v0和下落高度h共同决定。
4、平抛运动速度、位移变化规律
⑴平抛运动的速度变化：水平方向分速度保持vx＝v0。竖直方向，加速度恒为g，速度vy＝gt，从抛出点起，每隔Δt时间的速度的矢量关系如图所示。这一矢量关系有两个特点：
① 任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0
②任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下，且Δv＝Δvy＝gΔt。因此平抛
运动是典型的匀变速曲线运动。
⑵平抛运动位移变化规律
①任意相等时间间隔内，水平位移相等，即Δx＝v0Δt。
②连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝gΔt 2。
三、平抛运动的推论
推论Ⅰ：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
推论Ⅱ：做平抛(或类平抛)运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．
推论Ⅲ：以不同的初速度，从倾角为θ的斜面上沿水平方向抛出的物体，再次落到斜面上时速度与斜面的夹角α相同，与初速度无关．(飞行的时间与速度有关，速度越大，时间越长．)
如图所示，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度va和vb沿水平方向抛出，经过时间ta和tb后落到与两抛出点水平距离相等的P点，若不计空气阻力，下列关系式正确的是(　 　)
A．ta＞tb，va＜vb　　　B．ta＞tb，va＞vb
C．ta＜tb，va＜vb D．ta＜tb，va＞vb
例与练
A
人在距地面高 h、离靶面距离 L处，将质量 m 的飞镖以速度 v0 水平投出，落在靶心正下方，如图所示．只改变 h、L、m、v0 四个量中的一个，可使飞镖投中靶心的是( )
A．适当减小 v0 B．适当提高 h
C．适当减小 m D．适当减小 L
BD
例与练
一小球以初速度 v0水平抛出，落地时速度为 vt，阻力不计．求：
(1)小球在空中飞行时间．
(2)抛点离落地点的高度．
(3)水平射程．
(4)小球的位移．
解：依题意作平抛的轨迹如图所示：
例与练
(2009 年福建卷)如图 所示，射击枪水平放置，射击枪与目标靶中心位于离地面足够高的同一水平线上，枪口与目标靶之间的距离 s＝100 m，子弹射出的水平速度 v＝200 m/s，子弹从枪口射出的瞬间目标靶由静止开始释放，不计空气阻力，取重力加速度 g 为 10 m/s2，求：
(1)从子弹由枪口射出开始计时，经多长时间子弹击中目标靶？
(2)目标靶由静止开始释放到被子弹击中，下落的距离 h 为多少？
例与练
解析：⑴子弹做平抛运动，设子弹经t时间击中目标靶，则：
⑵目标靶做自由落体运动，则：
如图所示,墙壁上落有两只飞镖,它们是从同一位置水平射出的,飞镖A与竖直墙壁成53°角,飞镖B与竖直墙壁成37°角,两者相距为d,假设飞镖的运动是平抛运动,求射出点离墙壁的水平距离.(sin37°=0.6,cos37°=0.8)
解析:设射出点离墙壁的水平距离为x,A下降的高度为h1,B下降的高度为h2,根据平抛运动规律可知:
而h2-h1=d
联立解得:
例与练
在研究平抛物体的运动的实验中，某同学记录了运动轨迹上三点A、B、C，如图所示，以A点为坐标原点建立坐标系，各点坐标值已在图中标出，求：
⑴小球平抛初速度大小；
⑵小球做平抛运动的初始位置坐标。
解析：⑴竖直方向做自由落体运动
例与练
⑵经B点竖直向下的速度为：
从抛出到B点的时间：
在A点之前小球已运动的时间：
由运动学公式得小球做平抛运动的初始位置坐标分别为：
(2010年全国卷Ⅰ)一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为(　　 )
A. B.

C. D.
D
例与练
(2010年北京理综卷)如图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经3.0 s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg。不计空气阻力。求：(取sin370＝0.60，cos370＝0.80；g取10 m/s2)
(1)A点与O点的距离L；
(2)运动员离开O点时的速度大小；
(3)运动员落到A点时的动能。
例与练
解析：
⑴竖直方向：自由落体运动
⑵水平方向：匀速直线运动
⑶由机械能守恒：（取A点为重力势能零点）
如图所示，A、B两小球以相同的初速度v0左右平抛，小球均落在斜面上，不计空气阻力，两球在空中运动时间之比为多少？
例与练
解析：
如图所示，光滑斜面长为b，宽为a，倾角为θ，一物块沿斜面左上方顶点P水平射入．而从右下方顶点Q离开斜面，求入射初速度．
解析：物块在斜面上做类平抛运动
例与练
如图所示，一小球自平台上水平抛出，恰好无碰撞地落在邻近平台的一倾角为α＝530 的光滑斜面顶端，并沿光滑斜面下滑．已知斜面顶端与平台的高度差h＝0.8 m，重力加速度g取10 m/s2，sin530＝0.8，cos530＝0.6，求：
(1)小球水平抛出的初速度v0是多少？
(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x是多少？
(3)若斜面顶端高H＝20.8 m，则小球离开平台后经多长时间t 到达斜面底端？
例与练
解析：⑴由题意可知，小球落在斜面顶端时速度方向平行于斜面。
⑵设小球从抛出到落到斜面顶端的时间为t1
⑶小球沿斜面向下做匀加速直线运动
初速度：
加速度：
由运动学公式和几何关系得：
代入数据得：
解得：t2=2s（舍去一项负的）
如图所示，AB为斜面，BC为水平面。从A点以水平速度v 向右抛出小球时，其落点与A点的水平距离为x1；从A点以水平速度2v 向右抛出小球时。其落点与A点的水平距离为x2。不计空气阻力，则x1:x2可能为( )A. 1:2 B. 1:3C. 1:4 D. 1:5
ABC
例与练
第三课时　圆周运动的基本规律
一、描述圆周运动的物理量及其相互关系
⑴定义：质点做圆周运动通过的弧长s和所用时间t的比值叫做线速度.
对于匀速圆周运动，在任意相等时间内通过的弧长都相等，即线速度大小不变，方向时刻改变。
⑷物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢.
⑶方向：某点线速度的方向即为该点的切线方向.（与半径垂直）
⑵大小： 单位为m/s.
1、线速度
2、角速度⑴定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过的角度 跟所用时间t的比值，就是质点运动的角速度.
⑵大小： 单位:rad/s.
⑶物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢.
对于匀速圆周运动，角速度大小不变。
说明：匀速圆周运动中有两个结论：
⑴同一转动圆盘(或物体)上的各点角速度相同．
⑵不打滑的摩擦传动和皮带(或齿轮)传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。
如图所示的皮带传动装置，主动轮O1上两轮的半径分别为3r和r，从动轮O2的半径为2r，A、B、C分别为轮子边缘上的三点，设皮带不打滑，求:(1)A、B、C三点的角速度之比ωA:ωB:ωC=________.(2)A、B、C三点的线速度大小之比vA:vB:vC=________.
2:2:1
3:1:1
例与练
如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3。若甲轮的角速度为1，则丙轮的角速度为( )
A. r11/r3 B. r31/r1
C. r31/r2 D. r11/r2
A
例与练
3、周期、频率、转速 ⑴周期：做匀速圆周运动的物体，转过一周所用的时间叫做周期。用T表示，单位为s。
⑵频率：做匀速圆周运动的物体在1 s内转的圈数叫做频率。用f表示，其单位为转/秒(或赫兹)，符号为r/s(或Hz)。

⑶转速：工程技术中常用转速来描述转动物体上质点做圆周运动的快慢。转速是指物体单位时间所转过的圈数，常用符号n表示，转速的单位为转/秒，符号是r/s，或转/分(r/min)。
4、向心加速度⑴定义：做圆周运动的物体，指向圆心的加速度称为向心加速度.⑵大小：

⑶方向：沿半径指向圆心.⑷意义：向心加速度的大小表示速度方向改变的快慢.
说明:
①向心加速度总指向圆心，方向始终与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
②向心加速度方向时刻变化，故匀速圆周运动是一种加速度变化的变加速曲线运动(或称非匀变速曲线运动).
③向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度。对于匀速圆周运动，其所受的合外力就是向心力，只产生向心加速度，因而匀速圆周运动的向心加速度是其实际加速度。对于非匀速圆周运动，例如竖直平面内的圆周运动。如图所示，小球的合力不指向圆心，因而其实际加速度也不指向圆心，此时的向心加速度只是它的一个分加速度，其只改变速度的方向。而沿切线的分加速度只改变速度的大小。
5、向心力
⑴定义：做圆周运动的物体受到的指向圆心的合外力，叫向心力。
⑵方向：向心力的方向沿半径指向圆心，始终和质点运动方向垂直，即总与圆周运动的线速度方向垂直。
⑶大小:
⑷向心力的效果：向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
二、离心运动和向心运动
1、离心运动
⑴定义：做圆周运动的物体，在所受到的合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
⑵本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着切线方向飞出去的倾向．
⑶受力特点
当F＝mω2r时，物体做匀速圆周运动；
当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
当FF为实际提供的向心力．如图所示．
2、向心运动
当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F>mω2r，物体逐渐向圆心靠近．如图所示．
三、圆周运动中的动力学问题分析
1、向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2、向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
3、解决圆周运动问题的主要步骤
(1)审清题意，确定研究对象；
(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；
(3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；
(4)据牛顿运动定律及向心力公式列方程；
(5)求解、讨论．
甲､乙两名溜冰运动员，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图所示。已知M甲=80 kg，M乙=40 kg，两人相距0.9 m，弹簧秤的示数为96 N，下列判断中正确的是( )A. 两人的线速度相同，约为40 m/sB. 两人的角速度相同，为2 rad/sC. 两人的运动半径相同，都是0.45 mD. 两人的运动半径不同，甲为0.3 m，乙为0.6 m
BD
例与练
如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的摩擦因数相同，当圆盘转动到两个物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，两个物体的运动情况是(　　 )
A．两物体沿切向方向滑动
B．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
C．两物体仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动
D．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远
D
例与练
如图所示，水平转盘上放一小木块，当转速为60 r/min时，木块离轴8 cm，并恰好与转盘间无相对滑动;当转速增加到120 r/min时，木块应放在离轴________ cm处才能刚好与转盘保持相对静止。
2
例与练
如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动。则下列说法正确的是( )A. 球A的线速度必定大于球B的线速度B. 球A的角速度必定等于球B的角速度C. 球A的运动周期必定小于球B的运动周期D. 球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
A
例与练
长为L的细线一端拴一质量为m的小球，另一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，摆线L与竖直方向的夹角是α时，求：
⑴线的拉力F
⑵小球运动的线速度的大小
⑶小球运动的角速度及周期
例与练
解析：
（2）
（1）
（3）
车辆转弯问题分析
1、火车转弯问题，
如图所示．
(1)内外轨高度相同时，转弯所需的向心力由外轨道的弹力提供．
(2)外轨高度高于内轨，火车按设计速度行驶时，火车转弯所需的向心力由重力和支持力
的合力提供，如图所示．火车实际行
驶速度大于设计速度时，其转弯所需
的向心力由重力、支持力和外轨道的
弹力提供．
(1)路面水平时，转弯所需的向心力由静摩擦力提供，若转弯半径为R，路面与车轮之间的最大静摩擦力为车重的μ倍，汽车转弯的最大速度为
(2)高速公路的转弯处，公路的外沿设计的比内沿略高，若汽车以设计速度转弯时，汽车转弯的向心力由重力和支持力的合力提供．
2、汽车转弯问题
例与练
1、火车在某转弯处的规定行驶速度为v，则下列说法正确的是（ ）
A、当以速度v通过此转弯处时，火车受到的重力及轨道面的支持力的合力提供了转弯的向心力
B、当以速度v通过此转弯处时，火车受到的重力、轨道面的支持力及外轨对车轮轮缘的弹力的合力提供了转弯的向心力
C、当火车以大于v的速度通过此转弯处时，车轮轮缘会挤压外轨
D、当火车以小于v的速度通过此转弯处时，车轮轮缘会挤压外轨
AC
公路弯道倾斜或铁路弯道外轨高于内轨，如果车辆转弯时的速度大于设计

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