第四节　二次函数与幂函数
1．二次函数
(1)二次函数的三种形式
一般式：f(x)＝ _______________(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为______；
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
ax2＋bx＋c
(h，k)
(2)二次函数的性质
减
增
增
减
2.幂函数
(1)定义：形如 ________(α∈R)的函数叫幂函数，其中x是_________，α是常数．
y＝xα
自变量
(2)幂函数的性质
1．ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的条件是什么？其几何意义如何？
【答案】　B
2．函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上(　　)
A．先减后增 B．先增后减
C．单调递减 D．单调递增
【解析】　∵f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，
∴2m＝0，∴m＝0.
则f(x)＝－x2＋3在(－5，－3)上是增函数．
【答案】　D
3．函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
【解析】　二次函数f(x)的对称轴是x＝1－a，由题意知
1－a≥3，∴a≤－2.
【答案】　(－∞，－2]
4．(2013·东莞质检)设函数f(x)＝mx2－mx－1，若f(x)＜0的解集为R，则实数m的取值范围是________．

【答案】　(－4，0]
(2013·广州调研)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数；
(3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间．
【思路点拨】　解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系，结合图象或单调性直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间．
∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0，1)上为减函数，在区间[－1，0)和[1，6]上为增函数．
1．本题(3)应去掉绝对值符号，化为分段函数．
2．研究二次函数在闭区间上的最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．
3. 求二次函数最值的类型及解法
(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论. (2)常画出图象结合二次函数在该区间上的单调性求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得.
(2013·惠州模拟)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
(2)由题意，x2－x＋1＞2x＋m在[－1，1]上恒成立．
则m＜x2－3x＋1在[－1，1]上恒成立，
令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1，1]，g(x)是减函数．
∴g(x)min＝g(1)＝－1，应有m＜－1.
因此实数m的取值范围是(－∞，－1).
设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值．都有f(x)＞0，求实数a的取值范围．
1．本题中二次项系数不确定，因此使用方法一时需分三种情况讨论．
2．由不等式恒成立求参数取值范围，一般有两个解题思路：(1)分离参数；(2)不分离参数，二者都将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.
已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)．
(1)若f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤1}，求实数b，c的值；
(2)若f(x)满足f(1)＝0，且关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，求实数b的取值范围．
【思路点拨】
【答案】　(1)A　(2)B
二次函数、二次方程与二次不等式统称为“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．
在研究二次函数时，要注意二次项系数对函数性质的影响，
往往需要对二次项系数分大于零与小于零两种情况讨论．
从2012年全国各省市命题看，对二次函数、幂函数的考查多以客观题为主，重点考查二次函数的应用，方程根的分布，并且蕴含分类讨论和转化化归等数学思想方法．
思想方法之三　分类讨论思想在二次函数中的应用
(2013·肇庆调研 )设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)·|x－a|.
(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；
(2)求f(x)的最小值．
【规范解答】　(1)∵f(0)＝－a|－a|≥1，
∴－a＞0，即a＜0.
由a2≥1，知a≤－1.
则a的取值范围是(－∞，－1]．
易错提示：(1)求函数的最值时，对a找不到分类的标准导致无从入手；
(2)分类求最值时，最小值求解不正确．
防范措施：(1)二次函数求最值时，应从对称轴与区间端点的大小关系入手，从三个方面讨论．
(2)分段函数求最值，应求出每一段的最值，然后比较大小．
【答案】　C