第一节 不等关系与不等式
1．实数的大小顺序与运算性质的关系
(1) a＞b⇔___________，
(2) a＝b⇔___________，
(3) a＜b⇔___________．
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔________；(双向性)
(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性)
a－b＞0
a－b＝0
a－b＜0
b
2．a>b⇒an>bn(n∈N，且n>1)对吗？
【提示】 不对，若n为奇数，成立，若n为偶数，则不一定成立．
1．(人教A版教材习题改编)对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 a＞6D/⇒ac2＞bc2，如c＝0时，ac2＝bc2，
但ac2＞bc2⇒a＞b，
∴“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件．
【答案】 B
2．在城区限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是( )
A．v＜40 km/h B．v＞40 km/h
C．v≠40 km/h D．v≤40 km/h
【答案】 D
∵a>b>1，－c>0，∴a－c>b－c>1.
∵a>b>1，∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，
即logb(a－c)>loga(b－c)，故③正确．
【答案】 D
【思路点拨】 由题意，找出题目中相应的不等式关系，特别是“一个铁钉受击3次后全部进入木板”，然后用不等式(组)将它们表示出来．
某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车．根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．
【思路点拨】 利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假．
【答案】 (2)(3)(4)
1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误．
2．对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括 “单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．
(2012·浙江高考)设a>0，b>0，( )
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>b
B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a
C．若2a－2a＝2b－3b，则a>b
D．若2a－2a＝2b－3b，则a
【解析】 当0＜a≤b时，显然2a≤2b，2a≤2b＜3b，
∴2a＋2a＜2b＋3b，
即2a＋2a≠2b＋3b.
∴它的逆否命题“若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b”成立，
因此A正确．
【答案】 A
【思路点拨】 (1)计算出f(a)与f(b)，用作差法或综合法比较大小；(2)幂式比较大小，用作商法比较大小．
1.运用不等式性质，一定弄清性质成立的条件，切忌弱化或强化性质成立的条件．
2．求代数式的范围，应利用待定系数法或数形结合建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，避免扩大变量范围．
作差比较法与作商比较法是判定两个数或式大小的两种基本方法，其中变形是关键．
从近两年的高考试题来看，不等关系、不等式的性质及应用是高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度为中低档，客观题突出对不等式性质及应用的考查，主观题与其他知识交汇，考查不等式的性质及综合分析问题、解决问题的能力．在涉及求范围问题时，应特别注意不等式性质的应用，防止出错．
错因分析：(1)忽视字母b、c相互制约的条件，片面将b，c分割开来导致字母范围发生变化．
(2)多次运用同向不等式相加这一性质，不是等价变形，扩大变量的取值范围，致使最值求解错误．
防范措施：(1)利用待定系数法先建立待求整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得待求整体的范围．
(2)运用线性规划，根据t＝b＋3c的几何意义，数形结合求t的最值．
【答案】 B
【答案】 A
