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不等式选讲[选修4－5]
第一节 绝对值不等式
第二节 不等式的证明
目 录
一、绝对值三角不等式
1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤ ，
当且仅当 时，等号成立．
2．定理2：如果a，b，c是实数，那么
|a－c|≤ ，当且仅当 时，等号成立．
不等式选讲[选修4－5]
[知识能否忆起]
|a|＋|b|
ab≥0
|a－b|＋|b－c|
(a－b)(b－c)≥0
二、绝对值不等式的解法
1．不等式|x|
a的解集：
R
{x|x≠0}
{x|x>a，或x<－a}
|x|>a
∅
∅
{x|－a|x|a<0
a＝0
a>0
不等式
2．|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
(1)|ax＋b|≤c⇔ ；
(2)|ax＋b|≥c⇔ .
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
－c≤ax＋b≤c
ax＋b≥c或ax＋b≤－c
[小题能否全取]
答案：2
答案：(－∞，－5)∪(5，＋∞)
1.不等式|x－a|＋|x－b|≥c的解就是数轴上到A(a)，B(b)两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
2．不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.
绝对值不等式的解法
[例1] (2012·新课标全国卷)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
形如|x－a|±|x－b|≥c不等式的常用解法：
(1)零点分段讨论法，其步骤为：
①求零点；②划分区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．
(2)用|x－a|±|x－b|的几何意义求解．
(3)数形结合，作出y＝|x－a|±|x－b|的图象，直观求解．
(1)作出函数y＝f(x)的图象；
(2)解不等式|x－8|－|x－4|>2.
绝对值三角不等式的应用
[例2] (2012·延边质检)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|＋a.
(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥6；
(2)若不等式f(x)≥3a2对一切实数x恒成立时，求实数a的取值范围．
绝对值不等式的证明
含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值不等式性质：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．
[知识能否忆起]
一、比较法
(1)求差比较法：
知道a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，因此要证明a＞b，只要证明 即可，这种方法称为求差比较法．
a－b＞0
(2)求商比较法：
二、分析法
从所要证明的 出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．
结论
三、综合法
从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法．
四、放缩法
在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．
(a1b1＋a2b2)2
六、柯西不等式的二维形式
五、反证法的步骤
(1)作出否定 的假设；
(2)进行推理，导出 ；
(3)否定 ，肯定 ．
结论
矛盾
结论
假设
(2)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|.
七、柯西不等式的一般形式
八、算术——几何平均不等式
[小题能否全取]
答案：8
答案：y>x
1.综合法与分析法的内在联系
综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，用分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程．
2．放缩法证明不等式的主要理论依据
(1)不等式的传递性；
(2)等量加不等量为不等量；
(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．
[注意] 放缩要适度，“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出．
3．柯西不等式的形式特点
从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模平方之积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运算的平方形式，可简记为“方和积不小于积和方”．
比较法证明不等式
[例1] (2012·唐山模拟)已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)<4的解集为M.
(1)求M；
(2)当a，b∈M时，证明：2|a＋b|<|4＋ab|.
比较法证明不等式最常用的是作差法，其基本步骤是：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断正负．
综合法、分析法证明不等式
分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．
放缩法证明不等式
1．在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有：
(2)利用函数的单调性；
2．在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．
[例4] (2012·福建高考)已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．
(1)求m的值；
1．使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．
2．利用柯西不等式求最值的一般结构为：
