不等式、推理与证明
第一节 不等关系与不等式
第二节 一元二次不等式及其解法
第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
第四节 基本不等式
第五节 合情推理与演绎推理
第六节 直接证明和间接证明
第七节 数学归纳法
目 录
不等式、推理与证明
[知识能否忆起]
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b＞0⇔ ；a－b＝0⇔ ；a－b＜0⇔ .
a＞b
a＝b
a＜b
2．不等式的基本性质
b
a>c
a＋c>b＋c
ac>bc
ac
a＋c>b＋d
ac>bd
an>bn
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)下列命题正确的是 ( )
答案：D
答案：A
3．已知a，b，c，d均为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c
>b－d”的 ( )
解析：若a－c>b－d，c>d，
则a>b.但c>d，a>b⇒/ a－c>b－d.
如a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－3时，a－c
答案： B
5．已知a，b，c∈R，有以下命题：
①若a>b，则ac2>bc2；②若ac2>bc2，则a>b；
③若a>b，则a·2c>b·2c.
其中正确的是_________(请把正确命题的序号都填上)．
答案： ②③
1.使用不等式性质时应注意的问题：
在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c的符号”等也需要注意．
2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用．
若本例中“q＞0”改为“q＜0”,试比较它们的大小.
比较大小的常用方法
(1)作差法：
一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
(2)作商法：
一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．
(3)特值法：
若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．
[提醒] 用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．
1．(2012·吉林联考)已知实数a、b、c满足b＋c＝6－4a＋
3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是( )
答案：A
(2)∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，
∴ad＜bc，故①错误．
∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，
∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
∴a(－c)＞(－b)(－d)，
[答案] (1)A (2)C
1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．
2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．
答案：B
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
利用不等式的性质判断不等关系是难点，又是考生的易误点，其易误点两个：一是在一个不等式两边同时乘以一个数或一个式子时，忽视正负号的判断导致出错．二是在运用同向不等式相加这一性质时，不是等价变形．若利用特值法就可避免上述错误，并且快速解答问题，特值法就是利用特殊值代替字母参数，得出特殊结论，再对各项检验，从而做出正确的选择．
A．① B．③
C．③ D．④
答案：C
教师备选题（给有能力的学生加餐）
答案： D
2．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一
半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则 ( )
A．甲先到教室 B．乙先到教室
C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定
2．若a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是( )
答案：A
3．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一
半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果
两人步行速度、跑步速度均相同，则 ( )
A．甲先到教室 B．乙先到教室
C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定
答案：B
答案：②④
[知识能否忆起]
一元二次不等式的解集
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集的关系，可归纳为：
判别式
Δ＝b2－４aｃ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根
有两相异实根x＝x1或x＝x2
有两相同实根x＝x1
无实根
{x|x
x>x2}
{x|x1
{x|x≠x1}
∅
∅
若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)不等式x(1－2x)＞0的解集是( )
答案：B
答案：B
A．[－4,4] B．(－4,4)
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
答案：D
3．(2011·福建高考)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个
不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，
＋∞)
解析：由一元二次方程有两个不相等的实数
根，可得：判别式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2
或m＞2.
答案：C
答案：－1 1
答案：{x|x＜1，或x＞2}
解一元二次不等式应注意的问题：
(1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数．
(2)二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况．
(3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号．
(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同．
(2)x2－4ax－5a2＞0(a≠0)．
[例1] 解下列不等式：
1．解一元二次不等式的一般步骤：
(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．
2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．
1．解下列不等式：
[例2] 已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
1．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．
2．一元二次不等式恒成立的条件：
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)(x∈R) 恒成立的充要条件是：
a＞0且b2－4ac＜0.
(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)(x∈R)恒成立的充要条件是：
a＜0且b2－4ac＜0.
答案：(－4,0) (－∞，－6]∪[2，＋∞)
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．
解不等式应用题，一般可按如下四步进行：
(1)认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；
(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；
(3)解不等式；
(4)回答实际问题．
[典例] (2012·安徽模拟)已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为( )
A．(－∞，2)∪(3，＋∞)B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1,3)
[解析] 把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，则f(a)＞0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6＞0，且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，联立方程解得x＜1或x＞3.
[答案] C
[题后悟道] 本题解答利用了转化与化归思想、函数思想，体现了主元与次元的转化，从而变为关于a的一次函数，利用函数的性质来求解．解决此类问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．利用转化与化归思想的原则是：熟悉化原则、简单化原则、直观化原则、正难则反原则．
答案：C
答案：C
教师备选题（给有能力的学生加餐）
答案： C
答案：{x|－3
3}
答案：B
[知识能否忆起]
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域：
(2)二元一次不等式表示的平面区域的确定：
二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．
边界直线
边界直线
公共部分
2．线性规划中的基本概念
不等式(组)
一次
解析式
一次
(x，y)
集合
最大值
最小值
最大值
最小值
[小题能否全取]
1.(教材习题改编)如图所示的平面区域
(阴影部分)，用不等式表示为 ( )
A．2x－y－3＜0 B．2x－y－3＞0
C．2x －y－3≤0 D．2x－y－3≥0
解析：将原点(0,0)代入2x－y－3得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式为2x－y－3＞0.
答案：B
答案：A
答案：A
4.写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是_____．
5．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工
需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人 ,瓦工y人，则所请工人数的约束条件是________．
1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧
确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．
(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．
2．最优解问题
如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优解可能有无数个．
二元一次不等式(组)表示平面区域
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
[答案] B
二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．
A．－3 B．－2
C．－1 D．0
答案：(1)C (2)1
求目标函数的最值
(2)画出平面区域所表示的图形，
如图中的阴影部分所示，平移直线ax
＋y＝0，可知当平移到与直线2x－2y
＋1＝0重合，即a＝－1时，目标函数
z＝ax＋y的最小值有无数多个．
[答案] (1)[－3,3] (2)－1
解：由本例图知，当直线ax＋y＝0的斜率k＝－a＞1，
即a＜－1时，满足条件，
所求a的取值范围为(－∞，－1)．
1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
2．常见的目标函数有：
(1)截距型：形如z＝ax＋by.
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
注意 转化的等价性及几何意义．
解析：(1)在坐标平面内画出题中的
不等式组表示的平面区域及直线2x
＋y＝6，结合图形分析可知，要使
z＝2x＋y的最大值是6，直线y＝k必
过直线2x＋y＝6与x－y＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k＝2；平移直线2x＋y＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应直线在y轴上的截距达到最小，此时z＝2x＋y取得最小值，最小值是z＝2×(－2)＋2＝－2.
[例3] (2012·四川高考)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 ( )
A．1 800元 B．2 400元
C．2 800元 D．3 100元
线性规划的实际应用
[答案] C
与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问题．如用料最省、获利最大等，其解题步骤是：①设未知数，确定线性约束条件及目标函数；②转化为线性规划模型；③解该线性规划问题，求出最优解；④调整最优解．
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________百万元．
3．(2012·南通模拟)铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨
铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
答案：15
含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧，增加了解题的难度．参变量的设置形式通常有以下两种：
(1)条件不等式组中含有参变量；
(2)目标函数中设置参变量．
[答案] B
[题后悟道] 由于条件不等式中含有变量，增加了解题时画图的难度，从而无法确定可行域，要正确求解这类问题，需有全局观念，结合目标函数逆向分析题意．整体把握解题的方向，是解决这类题的关键．
A．－1，－4 B．－1，－3
C．－2，－1 D．－1，－2
答案： D
[答案] B
[题后悟道] 此类问题旨在增加探索问题的动态性和开放性．解决此类问题一般从目标函数的结论入手，对图形的动态分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求解这类问题的主要思维方法．
A．2 B．1
C．0 D．－1
解析：依题意，在坐标平面内画出题
中的不等式组表示的平面区域，如图
所示．要使z＝y－ax取得最大值时的
最优解(x，y)有无数个，则直线z＝y
－ax必平行于直线y－x＋1＝0，于是有a＝1.
答案： B
教师备选题（给有能力的学生加餐）
A．3 B．1
C．－5 D．－6
答案：C
2．(2011·四川高考)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，
有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝ ( )
A．4 650元 B．4 700元
C．4 900元 D．5 000元
答案：C
[知识能否忆起]
1．基本不等式成立的条件： .
2．等号成立的条件：当且仅当 时取等号．
a>0，b>0
a＝b
二、几个重要的不等式
2ab
2
≤
≤
三、算术平均数与几何平均数
两个正数的算术平
均数不小于它们的几何平均数
四、利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 时，x＋y有最小值是 .(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 时，xy有最大值是 .(简记：和定积最大)
x＝y
x＝y
[小题能否全取]
答案：C
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
2．已知m>0，n>0，且mn＝81，则m＋n的最小值为( )
A．18 B．36
C．81 D．243
答案：A
3．(教材习题改编)已知0x的值为 ( )
答案：B
答案：5
答案：2
1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
利用基本不等式求最值
(2)(2012·浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是 ( )
[答案] (1)－2 (2)C
本例(2)条件不变，求xy的最小值．
用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．
(2)(2011·天津高考)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．
(3)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．
答案：(1)1 (2)18 (3)10
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
利用基本不等式求解实际应用题的方法
(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.
2．(2012·福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售
8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少
2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
[答案] C
1.解答本题易两次利用基本不等式，如：
但它们成立的条件不同，一个是a＝b，另一个是b＝4a.这显然是不能同时成立的，故不正确.
2.使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.
3.在运用基本不等式时，还要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.
1．(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是 ( )
答案: C
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] C
教师备选题（给有能力的学生加餐）
答案：4
2．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A、B两点，
若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值是______．
3．若x，y∈(0，＋∞)，x＋2y＋xy＝30.
(1)求xy的取值范围；
(2)求x＋y的取值范围．
[知识能否忆起]
一、合情推理
部分对象
全部对象
个别事实
一般结论
类似
特征
某些已知特征
部分
整体
个别
一般
特殊
特殊
二、演绎推理
1．定义：从 出发，推出_____________
下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
2．特点：演绎推理是由 的推理．
一般性的原理
某个特殊情况
一般到特殊
3．模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
一般原理
特殊情况
S是P
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)命题“有些有理数是无限循环小数，整
数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是 ( )
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但推理形式错误
D．使用了“三段论”，但小前提错误
解析：由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的．
答案：C
2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于 ( )
A．28 B．32
C．33 D．27
解析：由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9.
则x－20＝12，因此x＝32.
答案：B
3．(教材习题改编)给出下列三个类比结论．
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
其中结论正确的个数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：只有③正确．
答案：B
4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它
们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
答案：1∶8
1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用．合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明．
2．应用三段论解决问题时
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