第三节 基本不等式
1.基本不等式：
（1）基本不等式成立的条件：__________.
(2)等号成立的条件：当且仅当____时取等号.
称为a,b的___________， 称为a,b的___________.
(4)语言叙述：两个非负数的___________不小于它们的______
_____.
算术平均数
几何平
均数
a≥0,b≥0
a=b
算术平均数
几何平均数
2.基本不等式的变形
（1）a+b≥ （a,b≥0）.
（2）ab≤ （a,b∈R）.
（3）a2+b2≥____（a,b∈R）.
3．利用基本不等式求最值
（1）两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若x，y
为正实数，且a＋b＝s，s为定值，则 等号当且仅当
_____时成立.简记：和定积最大.
2ab
x＝y
（2）两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若x，y
为正实数，且xy＝p，p为定值，则x＋y≥ ，等号当且仅当
_____时成立.简记：积定和最小.
x＝y
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
（1） 成立的条件是ab≥0.( )
（2）函数 的最小值等于4.( )
（3）x>0且y>0是 的充要条件.( )
（4）若a>0，则 的最小值为 ( )
（5）若a,b∈R，则 ( )
【解析】（1）错误.当ab<0时，仍有 因此对于不等
式 当a,b中有0或一个负数时也是成立的.
（2）错误. 虽然由基本不等式可得
但由于其中的等号成立的条件是
即cos x=2，但这显然不成立，所以不能说函数的最小值是4.
（3）错误.当x>0且y>0时一定有 但当 时，不
一定有x>0且y>0，所以x>0且y>0是 的充分不必要条件.
（4）错误.虽有 但不能说 就是
的最小值，因为 的值与a有关，不是一个定值.
（5）正确. 由于
所以不等式成立.
答案：（1）× （2）× （3）× （4）× （5）√
1.下列不等式中正确的是( )
（A）若a∈R，则a2+9>6a
（B）若a,b∈R，则
（C）若a,b>0，则
（D）若x∈R，则
【解析】选C.对于A，a2+9-6a=（a-3）2≥0,∴a2+9≥6a,故A
不正确.由基本不等式成立的条件知B错误.对于C，当a,b>0
时，有 所以
故C选项正确.对于D，∵x∈R,∴x2+1≥1,
故D错误.
2.若x>0,y>0，且 则xy的最大值为( )
（A） （B） （C） （D）
【解析】选D.由基本不等式可得
当且仅当 时，xy取最大值 故选D.
3.函数f（x）=3x+3-x的最小值是( )
（A）2 （B）1 （C）3 （D）
【解析】选A.由于3x>0,3-x>0，所以f（x）=3x+3-x=
当且仅当3x=3-x，即x=0时函数取得最小值2.
4.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元.那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站______千米处.
【解析】设仓库到车站的距离为x千米，由题意设
y2=k2x，而当x=10时，y1=2，y2=8，于是k1=20, 因此
∴y1+y2= 当且仅当x=5时取
等号，所以仓库应建在离车站5千米处.
答案：5
5．已知a，b为正实数且a+b=1，则 的最小值为___.
【解析】∵a>0,b>0,a+b=1,
等号成立的条件为
答案：9
考向 1 利用基本不等式判断命题真假
【典例1】（1）（2013·抚州模拟）已知0＜a＜b，且a+b=1,
下列不等式中，一定成立的是( )
①log2a＞-1；②log2a+log2b＞-2;③log2(b-a)＜0;
④
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④
（2）（2012·福建高考）下列不等式一定成立的是( )
（A）
（B）
（C）x2+1≥2|x|
（D）
【思路点拨】运用基本不等式和不等式的性质，结合函数知识对每一项进行分析判断，注意基本不等式应用的条件和等号成立的条件是否满足.
【规范解答】（1）选C.①∵0＜a＜b,a+b=1,

错误;
③∵0＜b-a＜1，∴log2(b-a)＜0，正确；
正确.故③④正确.
（2）选C.由于 所以
当且仅当 时取等号，故A错误. 当
sin x<0时，不可能有 故B错误.由基本不等式
可得x2+1=|x|2+12≥2|x|，故C正确.由于x2≥0,x2+1≥1，所以
故D错误.
【拓展提升】基本不等式的变形
在基本不等式 及其一些变形形式中，可以将字母
a,b换成其他的数、字母、代数式等，只要这些数、字母、代
数式符合不等式成立的条件，那么得到的不等式也是成立的，
由此可以得到一些常用的不等式.例如，当x≠0时，
当a>1时，lg a+loga10≥2.
【变式训练】 给出下列结论：①若x≠0，则
②若a>0,b>0，则
③当 时， 的最小值为6；④若a,b>0，且
ab=2，则 其中正确结论的序号是________.
【解析】对于①，只有当x>0时，才有 成立，
故①错误；对于②，虽然有a>0,b>0，但lg a和lg b不一定都
是正数，因此不一定有 故②错误；对于
③，虽然当 时，sin x>0，所以
但其中的等号成立的条件是
即sin x=3，这显然是不可能的，因此不能说
的最小值为6，故③错误；对于④，由于
当且仅当a=b= 时取等号，所以④正确.
答案：④
考向 2 利用基本不等式求最值
【典例2】（1）若x<0，则函数 的最小值为___.
（2）（2013·宿州模拟）已知x＞0，y＞0，xy=x+2y，若
xy≥m-2恒成立，则实数m的最大值是______.
（3）（2013·余姚模拟）已知正数a,b满足 则a+b的
取值范围是_________.
【思路点拨】（1）因为x<0，所以可对 利用基本
不等式求最小值.
（2）利用基本不等式构造关于xy的不等式，求xy的最小值.
（3）一种思路是根据 将a+b中的b用a表示，然后用基
本不等式求范围；另一种思路是对 变形，获得a+b与
ab的关系，然后利用解不等式消去ab建立a+b的不等式求解.
【规范解答】（1）由于x<0，所以f（x）=

当且仅当 即x=-4时，函数取最小值9.
答案：9
（2）∵x＞0,y＞0, ∴xy≥8.
当且仅当x=2y时取等号.
∴8≥m-2，∴m≤10.
答案：10
（3）方法一：由 得a+b=3ab，所以 由于
a>0,b>0，可得 于是
当且仅当 时取等号，所以a+b的取值范
围是
方法二：由 得a+b=3ab.

即4（a+b）≤3（a+b）2，所以 即a+b的取值范围是

答案：
【互动探究】本例题（3）中，条件不变，则ab的取值范围是
_________.
【解析】 即9（ab）2≥4ab，所
以 即ab的取值范围是
答案：
【拓展提升】两个正数的和与积的转化
基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围. 如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解.
【变式备选】（1）若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值
是_______．
【解析】 令xy=t2（t＞0）,可得
注意到t＞0，解得 故xy的最小值为18.
答案：18
（2）（2013·海口模拟）函数f（x）= （0的最小值是_________.
【解析】因为0得： 当且仅当
时取到等号，所以函数的最小值等
于1.
答案：1
考向 3 基本不等式的实际应用
【典例3】某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．
房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？
【思路点拨】用长度x表示出造价，利用基本不等式求最值即可．但要注意变量x的取值范围为0＜x≤5；判断函数取最小值时的x是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性．
【规范解答】设总造价为y，由题意可得，
由基本不等式得

当且仅当 即x＝4时取等号．
故当侧面的长度为4米时，总造价最低.
【互动探究】本例中，若要求房子侧面的长度x不得少于5 m，
那么侧面的长度为多少时，总造价最低？
【解析】设总造价为y，由题意可得，

令y′>0得x>4（x<-4舍去），
所以函数在（4,+∞)上单调递增，于是当x=5时，y取得最小值
13 180元.
【拓展提升】注意变量的取值范围
在利用基本不等式解决实际应用问题时，一定要注意问题中所涉及变量的取值范围，即函数的定义域，分析在该范围内是否存在使基本不等式的等号成立的变量值，若存在，则可利用基本不等式求解，若使基本不等式的等号成立的变量值不在函数定义域内，则应利用导数研究函数的单调性，根据单调性求最值.
【变式备选】某种汽车，购车费用为10万元，每年的保险费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元.这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？
【解析】由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2
万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元
为公差的等差数列，因此，汽车使用x年时总的维修费用为
万元.
设汽车的年平均费用为y万元，则有
当且仅当 即x=10时，y取得最小值.
答：汽车使用10年时，它的年平均费用最少.
【易错误区】忽视基本不等式成立的条件致误
【典例】（2012·浙江高考）若正数x，y满足x+3y=5xy，则
3x+4y的最小值是( )
（A） （B） （C）5 （D）6
【误区警示】本题在求解中容易出现的错误是：对x+3y运用基
本不等式得到 的范围，再对3x+4y运用基本不等式，然后
通过不等式的传递性得到3x+4y的最值，忽视了基本不等式中
等号成立的条件，没有注意到两次运用基本不等式时等号成立
的条件不一致，从而导致错误.
【规范解答】选C.由x+3y=5xy可得
当且仅当x=1, 时取等号，故3x+4y的最小值是5.
【思考点评】
1.连续运用基本不等式应注意等号成立的条件
连续使用基本不等式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．因此尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等.
2.妙用“1”的代换求代数式的最值
在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本不等式求最值.
1.（2013·安庆模拟）“a＞1”是“对任意的正数x，不等式
成立”的( )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
【解析】选A.若a＞1，则 故 成立.
若 则必有 ∴a＞1不成立.故选A.
2.（2013·太原模拟）函数 的最小值为
( )
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
【解析】选B. 当且仅
当 x=1时取等号.
3.（2013·九江模拟）某厂的某种产品的产量去年相对于前年
的增长率为p1，今年相对于去年的增长率为p2，且p1＞0，
p2＞0，p1+p2=p，如果这种产品在这两年中的年平均增长率为
x，则( )
(A)x≤ (B)x=
(C)x＜ (D)x≥
【解析】选A.由题意，设前年的产量为a，则
a(1+x)2=a(1+p1)(1+p2),
∴(1+x)2=(1+p1)(1+p2)≤
当且仅当p1=p2时取等号.
4.（2013·上饶模拟）若不等式 对一切非零实数
x恒成立，则实数a的取值范围是_______.
【解析】当x＞0时，
当x＜0时，
∴|2a-1|≤2,
∴-2≤2a-1≤2,
答案：
1.已知正整数a,b满足4a+b=30，则使得 取得最小值的有
序数对（a,b）是( )
(A)（5，10） (B)（6，6）
(C)（7，2） (D)（4，14）
【解析】选A.依题意得

当且仅当 时取最小值，即b=2a且4a+b=30，即a=5,b=10
时取等号.
∴使得 取得最小值的有序数对（a,b）是（5，10）.
故选A.
2.已知a,b都是正实数，函数y=2aex+b的图像过（0,1）点，则
的最小值是( )
（A） （B）
（C）4 （D）2
【解析】选A.依题意得2a+b=1，于是
当且仅当
3.已知x＞0，y＞0， 若不等式m2+6m-x-y＜0恒成立，
则实数m的取值范围是___________.
【解析】∵x＞0,y＞0,

当且仅当 即y2=9x2时取等号，
∵x＞0,y＞0， 此时x=4,y=12.
∵m2+6m-x-y＜0恒成立,即m2+6m＜x+y恒成立，只要使m2+6m＜
(x+y)min=16，
由m2+6m＜16可得-8＜m＜2.
答案：（-8，2）