第二节 一元二次不等式
1.一元二次不等式的意义
形如________________或________________的不等式（其中
a≠0），叫作一元二次不等式.
ax2+bx+c＞0(≥0)
ax2+bx+c＜0(≤0)
2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表
{x|x
x2}
R
{x|x1∅
∅
在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中，如果二次项系数a<0，则可先根据不等式的性质，将其转化为正数，再对照上表求解.
3.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解过程用框图表示为
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
（1）若不等式ax2+bx+c<0的解集为（x1,x2），则必有a>0.
( )
（2）若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞)，则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.( )
（3）若方程ax2+bx+c=0（a≠0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( )
（4）不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.( )
（5）若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，则不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.( )
【解析】（1）正确.由不等式ax2+bx+c<0的解集为（x1,x2）可知函数对应的抛物线开口向上，因此必有a>0.
(2)正确.由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知结论是正确的.
（3）错误.只有当a>0时才成立，当a<0时，若方程ax2+bx+c=0没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为空集.
（4）错误.还要考虑a=0的情况，不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a=0,b=0,c≤0或a<0且Δ=b2-4ac≤0.
(5)正确.当抛物线开口向下时，在x轴下方一定存在图象，因此ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.
答案：（1）√ （2）√ （3）× （4）× （5）√
1.不等式(x+2)(x-1)>4的解集为( )
(A)(-∞,-2)∪(3,+∞) (B)(-∞,-3)∪(2,+∞)
(C)(-2,3) (D)(-3,2)
【解析】选B.原不等式可化为x2+x-6>0，
即(x+3)(x-2)>0，所以x>2或x<-3，
即解集为(-∞,-3)∪(2,+∞).
2.函数 的定义域为( )
(A)［0,3］ (B)(0,3)
(C)(-∞,0］∪［3,+∞) (D)(-∞,0)∪(3,+∞)
【解析】选A.依题意有3x-x2≥0，解得0≤x≤3，即定义域为
［0,3］.
3.关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是 则a+b=( )
(A)10 (B)-10 (C)14 (D)-14
【解析】选D.由题意a<0, 是方程ax2+bx+2=0的两
个根，
所以
解得a=-12，b=-2,
故a+b=-14，选D.
4.不等式ax2＋2ax＋1≥0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值
范围为________.
【解析】当a＝0时，不等式为1≥0恒成立；
当a≠0时，需
∴0＜a≤1，综上0≤a≤1.
答案：［0，1］
5.某种产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2,x∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是______.
【解析】要使生产者不亏本，则应满足25x≥3 000+20x-
0.1x2，
整理得x2+50x-30 000≥0，解得x≥150或x≤-200（舍去），
故最低产量是150台.
答案：150台
考向 1 一元二次不等式的解法
【典例1】（1）（2013·临汾模拟）若关于x的不等式ax-b＞0
的解集是（1，+∞)，则关于x的不等式 的解集是( )
（A）（-∞,1）∪(2,+∞)
（B）(-1,2)
（C）(1,2)
（D）(-∞,-1)∪(2,+∞)
（2）（2012·湖南高考）不等式x2-5x+6≤0的解集为_____.
（3）解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
【思路点拨】（1）根据不等式解集的端点与相应方程的根之间的关系，可确定a,b关系，即可解不等式.
（2）按照一元二次不等式的解法步骤进行求解.
（3）首先对a的符号进行分类讨论，在每一种情况中，如果有必要再按照根的大小进行讨论.
【规范解答】（1）选D.∵不等式ax-b＞0的解集为
(1,+∞),∴a＞0, 则不等式 即
(x+1)(x-2)＞0.解得x＜-1或x＞2.
（2）不等式可化为(x-2)(x-3)≤0，
因此2≤x≤3，即不等式的解集为{x|2≤x≤3}.
答案：{x|2≤x≤3}
（3）①当a=0时，原不等式变为-x+1<0，此时不等式的解集为
{x|x>1}.
②当a≠0时，原不等式可化为
若a<0，则上式即为
又因为 所以此时不等式的解集为
若a>0，则上式即为
（ⅰ）当 即a>1时，原不等式的解集为
(ⅱ)当 即a=1时，原不等式的解集为∅；
(ⅲ)当 即0综上所述，原不等式解集为：
当a<0时，
当a=0时，{x|x>1}；
当0当a=1时，∅；
当a>1时，
【拓展提升】解含参数的一元二次不等式的分类依据
（1）二次项中若含有参数应讨论是小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
（2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.
【提醒】当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况.
【变式训练】（1）（2013·西城模拟）已知函数f(x)=x2+
bx+1是R上的偶函数，不等式f(x-1)【解析】由于函数是偶函数，可得b=0，
此时f(x)=x2+1，于是不等式f(x-1)可化为x2-3x+2<0，解得1答案：{x|1（2）解关于x的不等式(1－ax)2＜1.
【解析】由(1－ax)2＜1，得a2x2－2ax＜0，
即ax(ax－2)＜0，
当a＝0时，不等式的解集为空集；
当a＞0时，由ax(ax－2)＜0，得
即
当a＜0时，
综上所述：当a＝0时，不等式解集为空集；当a＞0时，不等式
解集为 当a＜0时，不等式解集为
考向 2 一元二次不等式的恒成立问题
【典例2】已知函数f(x)=x2+ax+3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的范围.
(2)当x∈［-2,2］时，f(x)≥a恒成立，求a的范围.
【思路点拨】（1）可直接利用判别式Δ≤0求解.（2）可转化为求f(x)-a在［-2,2］上的最小值，令其最小值大于或等于0即可.
【规范解答】（1）f(x)≥a即x2+ax+3-a≥0，要使x∈R时，
x2+ax+3-a≥0恒成立，
应有Δ=a2-4(3-a)≤0，即a2+4a-12≤0，
解得-6≤a≤2.
（2）当x∈［-2,2］时，设g(x)=x2+ax+3-a.
分以下三种情况讨论：
①当 即a≥4时，g(x)在［-2,2］上是增加的，g(x)在
［-2,2］上的最小值为g(-2)=7-3a，因此 a无解；
②当 即a≤-4时，g(x)在［-2,2］上是减少的，g(x)在
［-2,2］上的最小值为g(2)=7+a，
因此 解得-7≤a≤-4；
即-4 因此 解得-4综上所述，实数a的取值范围是-7≤a≤2.
【互动探究】本例中，若对一切a∈［-3，3］，不等式
f(x)≥a恒成立，那么实数x的取值范围是什么？
【解析】不等式f(x)≥a即x2+ax+3-a≥0.
令g(a)=(x-1)a+x2+3，
要使g(a)≥0在［-3,3］上恒成立，
只需
解得x≥0或x≤-3.
【拓展提升】恒成立问题的两种解法
（1）更换主元法
如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键．即需要确定合适的变量或参数，能使函数关系更加清晰明朗．一般思路为：将已知范围的量视为变量，而待求范围的量看作是参数，然后借助函数的单调性或其他方法进行求解.
（2）分离参数法
如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值（或范围）来得到不等式恒成立时参数的取值范围.一般地，a≥f(x)恒成立时，应有a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min.
【变式备选】若函数 的定义域为R，则实
数m的取值范围是( )
(A)(-∞, ) (B)［0, )
(C)( +∞) (D)
【解析】选B.依题意mx2+4mx+3≠0对一切x∈R恒成立.当m=0时
显然成立；当m≠0时应有Δ=16m2-12m<0，解得 综上，
实数m的取值范围是
考向 3 一元二次不等式的实际应用
【典例3】汽车在行驶中,由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.
在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.
问：甲、乙两车有无超速现象？
【思路点拨】由甲、乙两车的实际刹车距离建立关于甲、乙两车车速的不等式，求出两车的实际车速然后判断是否超速.
【规范解答】由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2＞12,即x2+10x-1 200＞0,
解得x＞30或x＜-40（不符合实际意义,舍去）.
这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过
12 m,由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.
对于乙车,有0.05x+0.005x2＞10,
即x2+10x-2 000＞0,
解得x＞40或x＜-50（不符合实际意义,舍去）.
这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.
【拓展提升】构建不等式模型解决实际问题
不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题，解题时，要仔细审题，认清题目的已知条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解.
【变式训练】某产品生产厂家根据已往的生产销售经验得到下
面有关销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)
万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为
1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R(x)满足
假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律：
（1）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？
（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？求此时每台产品的售
价为多少？
【解析】（1）设厂家纯收入为y万元，由题意G(x)＝x＋2，
解得1＜x＜8.2，
故当1＜x＜8.2时工厂有盈利．
（2）当0≤x≤5时，
y＝－0.4x2＋3.2x－2.8＝－0.4(x－4)2＋3.6，
∴当x＝4时，ymax＝3.6;
当x＞5时，y＜8.2－5＝3.2，
∴当生产400台产品时盈利最大，此时R(4)＝-0.4×42＋
4.2×4－0.8＝9.6，
故每台产品的售价为
【创新体验】不等式、函数、方程的交汇
【典例】（2012·江苏高考）已知函数f（x）=x2+ax+b（a,b
∈R）的值域为［0,+∞），若关于x的不等式f（x）为（m,m+6），则实数c的值为__________．
【思路点拨】
【规范解答】方法一：由题意 即a2-4b=0，所以不
等式f(x)由已知可得m,m+6为方程 的两根，则
=m2+6m+9-m2-6m=9.
方法二：由题意 即a2-4b=0，
所以不等式f(x)即 由已知必有c>0，
且 即不等式解集是 于是
因此
故c=9.
答案：9
【思考点评】
1.方法感悟：本题考查了函数、方程、不等式三者之间的内在联系，充分体现了一元二次不等式与一元二次方程根的关系在解题中的应用，即在解答中根据不等式f(x)2.技巧提升：由于一元二次不等式的解法是通过二次函数、一
元二次方程、一元二次不等式三者之间的对应关系得到的，因
此一元二次不等式的解集与相应方程的根有着密切的联系，已
知不等式的解集，就可以得到方程的根.例如，如果不等式
ax2+bx+c<0（ax2+bx+c>0）的解集是(α,β)，则必有a>0
（a<0），且α,β是方程ax2+bx+c=0的两根，由一元二次方程
根与系数的关系可得 由此可进一步得到a,b,c
之间的关系，就可以解决一元二次不等式中参数求值的问题.
1.（2013·渭南模拟）函数 的定义域为( )
（A）(-∞,-4)∪(1,+∞) （B）(-4,1)
（C）(-4,0)∪(0,1) （D）(-1,4)
【解析】选B.依题意得-x2-3x+4>0，即x2+3x-4<0，解得
-42.（2013·赣州模拟）设函数f(x)=x2+(2a-1)x+4，若x1＜x2,
x1+x2=0时，有f(x1)≥f(x2),则实数a的取值范围是( )
（A）a＞ （B）a≥ （C）a≤ （D）a＜
【解析】选C.由题意 即2a-1≤0,
3.(2013·太原模拟)不等式 的解集为( )
（A）（-∞, ） （B）(-∞, )∪(0,+∞)
（C）( 0)∪(0,+∞) （D）( 0)
【解析】选B.原不等式变为
等价于x(3x+2)＞0,解得 或x＞0,故选B.
4.（2013·沈阳模拟）某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价，减少进货量的方法来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )
(A)12元 (B)16元
(C)12元到16元之间 (D)10元到14元之间
【解析】选C.设每件提高x(0≤x≤10)元，即每件获利润（2+x）元，每天可销售（100-10x）件．设每天获得总利润为y元，由题意有y=(2+x)(100-10x)=-10x2+80x+200，
要使每天利润在320元以上，
则有-10x2+80x+200>320，
即x2-8x+12<0，解得2故每件定价在12元到16元之间时，能确保每天赚320元以上.
5.（2013·临汾模拟）不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1＜0的解集为R，则实数a的取值范围是______.
【解析】若a2=1,则a=±1,当a=1时原不等式即为-1＜0恒成立，当a=-1时，原不等式变为2x-1＜0. 不合题意.若a≠±1,则 解得
综上
答案：
1.已知集合P={x|4+3x>x2}，集合M满足（M∪P）⊆（M∩P），则集合M为( )
(A){x|x>4或x<-1} (B){x|x>1或x<-4}
(C){x|-1【解析】选C.由4+3x>x2得x2-3x-4<0，
解得-1又因为（M∪P）⊆（M∩P），所以M∪P=M∩P，
从而必有M=P={x|-12.对于实数x，当n≤x4［x］2-36［x］+45<0的解集为( )
(A){x|2≤x<8} (B){x|2(C){x|2≤x≤8} (D){x|2【解析】选A.令t=［x］，则不等式化为4t2-36t+45<0，解得
而t=［x］，所以 由［x］的定义可知x
的取值范围是2≤x<8，即不等式解集为{x|2≤x<8}.
3.已知A=［-1，2），B={x|x2-ax-1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是( )
(A)［-1,1) (B)［-1,2)
(C)［0,3) (D)
【解析】选D.对于B中的不等式x2-ax-1≤0，由于Δ=a2+4>0，令f(x)=x2-ax-1，所以要使B⊆A，
应满足 即 故
