第二章 函数
1．函数
(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
(3)了解简单的分段函数，并能简单应用．
(4) 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
(5)会运用函数图象理解和研究函数的性质．
2．指数函数
(1)了解指数函数模型的实际背景．
(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
(3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．
(4)知道指数函数是一类重要的函数模型．
3．对数函数
(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
(2)理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．
(3)知道对数函数是一类重要的函数模型．
(4)了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1)．
4．幂函数
(1)了解幂函数的概念．
5．函数与方程
(1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
(2)根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
6．函数模型及其应用
(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
1．函数的三要素
_______， _____， _________．
2．函数的表示方法
主要有： _______， _______， _______．
3．函数的定义域
(1)分式的分母v．
(2)偶次方根的被开方数_____________．
(3)对数的真数_______，底数________________.

(4)正切函数y＝tan x中_______________.
定义域
值域
对应法则
解析法
列表法
图象法
大于或等于零
大于零
大于零且不等于1
答案　A
A．－1　　　　B．0　　　　C．1　　　　D．±0
答案　C
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：因为f(1)＝2，所以f(a)＝－2，即a＋1＝－2，所以a＝－3.
答案：A
答案　C
1．求函数解析式的方法
(1)形如y＝f(g(x))的函数，可令g(x)＝t，从中解出x，代入已知解析式求得f(t)的解析式，即得f(x)的解析式，这种方法叫换元法．注意t的范围．
(2)有时题中给出函数特征，求函数的解析式，可用待定系数法．比如函数是二次函数，可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a、b、c是待定系数．根据题设条件，列出方程组，解出a、b、c即可．
(4)配凑法或赋值法：依题目特征能够由一般到特殊或特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．
(5)根据某实际问题需建立一种函数关系式，这种情况需引入合适的变量，根据数学的有关知识找出函数关系式．
2．求函数值域的方法
(1)配方法：若函数类型为一元二次函数，则采用此法求其值域，其关键在于正确配成完全平方式．
(2)换元法：常用代数或三角代换，把所给函数代换成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．
(5)数形结合法：分析函数解析式表示的几何意义，根据其图象特点确定函数的值域．
考点一　判断两函数是否为同一函数
【案例1】　下列各组函数中，表示同一函数的是 (　　)
关键提示：判断两个函数是否为同一函数，要从两个方面进行分析：定义域和对应法则．
答案　A
【即时巩固1】　已知函数f(x)＝|x－1|，则下列函数与f(x)表示同一函数的是 (　　)
答案：B
考点二　函数定义域的求法
A．[0,1]　　　　　　　　B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
关键提示：通过构造不等式组进行求解．
解析：因为f(x)的定义域为[0,2]，所以对于g(x)，有0≤2x≤2且x＞0，x≠1，故x∈(0,1)．
答案：D
考点三　函数解析式的求法
【案例3】　已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式．
关键提示：本题知道函数类型，可采用待定系数法进行求解．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝0知c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx.
又因为f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
【即时巩固3】　已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax＋b，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b
＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，

故所求的函数为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.
考点四　求函数值域
【案例4】　求下列函数的值域：
关键提示：根据函数解析式的结构，确定采用的方法：(1)题可用配方法，(2)题可用换元法或单调性法．
解：(1)(方法1)分离常数法：
A．[0，＋∞)　 B．[0,4]　 C．[0,4)　 D．(0,4)
解析：因为4x＞0，所以－4x＜0，
所以0≤16－4x＜16，所以0≤y＜4.
答案：C
考点五　函数的图象
【案例5】　画出下列函数的图象：
(1)y＝|x－1|＋|3－x|；
(2)y＝|x2－4x＋3|.
关键提示：先去掉绝对值，再画图象．
解：(1)所给函数可写成分段函数：

该函数的图象是由两条射线与一条线段组成的折线，如图(a)所示．
(a) (b)
解析：因为f(0)＝0，排除A；当x＜0时y＝x2，排除C、D.
答案：B