4.1　圆的方程
4.1.2　圆的一般方程
圆与方程
1．正确理解圆的一般方程及其特点．
2．会求圆的一般方程．
3．能进行圆的一般方程和标准方程的互化．
基础梳理
1．圆的一般方程的定义
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程______________________称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
3.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.则其位置关系如下表：
练习1.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，在什么条件下表示圆的方程.
练习2.圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0的圆心为：________，半径为：________.
练习1. A=C≠0，B＝0且D2+E2-4AF＞0
练习2. (1，－5)　5
思考应用
1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
解析：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2明确了圆心和半径，方程左边为平方和，右边为一个正数，且未知数的系数为1；一般方程体现了二元二次方程的特点，但未明确圆心和半径，需计算得到，当二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0中的系数A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F>0时，二元二次方程就是圆的一般方程．
2．求圆的方程常用“待定系数法”，“待定系数法”的一般步骤是什么？
解析：(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
(3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．
自测自评
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(　　)
A．(4，－6)，r＝16 B．(2，－3)，r＝4
C．(－2,3)，r＝4 D．(2，－3)，r＝16
2．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有(　　)
A．D＝E B．D＝F
C．F＝E D．D＝E＝F

3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　)
A．R B．(－∞，1)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
解析：由D2＋E2－4F＝(－4)2＋22－4×5k＝20－20k>0得k<1.
答案：B
4．圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为________________．
解析：圆的半径r＝
∴圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝73，
展开整理得，
x2＋y2＋6x－8y－48＝0为圆的一般方程．
答案：x2＋y2＋6x－8y－48＝0
5．指出下列圆的圆心和半径：
(1)x2＋y2－x＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)；
(3)x2＋y2＋2ay－1＝0.
解析：(1)(x－ )2＋y2＝ ，圆心( ，0)，半径r＝ ；
(2)(x＋a)2＋y2＝a2，圆心(－a,0)，半径r＝|a|；
(3)x2＋(y＋a)2＝1＋a2，圆心(0，－a)，半径r＝
圆的一般方程的概念
下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径：
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
解析：将其化成标准式再进行判断，并给出答案．
(1)∵方程2x2＋y2－7x＋5＝0中x2与y2的系数不相同，
∴它不能表示圆；
(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项，
∴它不能表示圆；
(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，
∴它不能表示圆；
(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为
(x－ )2＋y2＝( )2，
∴它表示以( ，0)为圆心， 为半径的圆．
点评：(1)判断一个二元二次方程是否表示圆的程序是：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征即：①x2与y2的系数相等，②不含xy的项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数．
(2)圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．
跟踪训练
1．求出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)x2＋y2－6x＝0；
(2)x2＋y2＋2by＝0(b≠0)；
(3)x2＋y2－2ax－2 y＋3a2＝0.
解析：(1)原方程化为(x－3)2＋y2＝32，因此该圆的圆心为(3,0)，半径为3.
(2)原方程化为x2＋(y＋b)2＝b2(b≠0)，因此该圆的圆心为(0，－b)，半径为|b|.
(3)原方程化为(x－a)2＋(y－ )2＝3－2a2.因为表示圆，所以3－2a2>0，从而该圆的圆心为(a， )，半径为
求圆的方程
(多解题)求经过A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．
解析：根据题中条件，既可设标准方程，也可设一般方程，有多种解法．
解法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
点评：(1)求圆的方程的基本方法：
确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法．其中，选标准是根据已知条件选恰当的圆的方程的形式，进而确定其中三个参数．一般来讲，条件涉及圆上的点多，可选择一般方程，条件涉及圆心与半径，可选择标准方程．
(2)求圆的方程的一般步骤：
①根据题意选用圆的两种形式的方程中的一种；②根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；③解方程组．求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程．
跟踪训练
2．(1)已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)，若圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程．
(2)求过点A(－1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圆的方程．
解析：由题设三个条件，可利用待定系数法求方程，如利用弦的中垂线过圆心，也可先确定圆心，再求圆的半径．
(1)法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0则
法三：线段AB中垂线的方程为2x＋y＋4＝0.它与直线x－2y－3＝0的交点(－1，－2)为圆心，由两点间距离得r2＝10，
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
求轨迹方程
自圆x2＋y2＝4上的点A(2,0)引此圆的弦AB，求弦AB的中点轨迹方程．
解析：设AB的中点P(x，y)，B(x1，y1)，则有 ＝4，且
∴x1＝2x－2，y1＝2y.
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1.
当A、B重合时，P与A点重合，不合题意，
∴所求轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2)．
跟踪训练
3．设圆的方程为x2＋y2＝4，过点M(0,1)的直线l交圆于点A、B，O是坐标原点，点P为AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．
解析：设点P的坐标为(x，y)、A(x1，y1)、B(x2，y2)．
因为A、B在圆上，所以 ＝4，x22＋y22＝4，
两式相减得x12－x22＋y12－y22＝0，
所以(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
1．方程x2＋y2＝a2(a∈R)表示的图形是(　　)
A．表示点(0,0)
B．表示圆
C．当a＝0时，表示点(0,0)，当a≠0时表示圆
D．不表示任何图形
解析：注意分a＝0和a≠0两种情况讨论．
答案：C
2．x2＋y2－4y－1＝0的圆心和半径分别为(　　)
A．(2,0)，5　　　　　　B．(0，－2)，
C．(0,2)， D．(2,2)，5
解析：x2＋(y－2)2＝5，圆心(0,2)，半径 .
答案：C
1．任何一个圆的方程都可写成x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线不一定是圆，只有D2＋E2－4F>0时，方程才表示圆心为(－ ，－ )，半径为r＝ 的圆．
2．在圆的方程中含有三个参变数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．求圆的方程时是选用标准方程还是一般方程的依据：当给出的条件与圆心坐标、半径有关，或者由已知条件容易求得圆心和半径时，一般用标准方程．当上述特征不明显时，常用一般方程，特别是给出圆上三点，用待定系数法求圆的方程时，常用一般式，这样得到的关于D、E、F的三元一次方程组，要比使用标准方程简便得多．
3．要画出圆的图象，必须知道圆心和半径，因此应掌握用配方法将圆的一般方程化为标准方程．