4.1.2 圆的一般方程
自 学 导 引
1.掌握圆的一般方程及其特点.
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程,并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.
3.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程.
4.初步学会运用圆的方程来解决某些实际应用问题.
课 前 热 身
1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.
(1)当________________时,方程表示一个点,该点的坐标为______________________;
(2)当________________时,方程不表示任何图形;
(3)当________________时,方程表示的曲线为圆,它的圆心坐标为________________,半径等于________________,上述方程称为圆的一般式方程.
D2+E2-4F=0
D2+E2-4F<0
D2+E2-4F>0
2.比较二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0和圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,可以得出如下结论:当二元二次方程具条件:
(1)x2和y2的系数相同,且不等于0,即____________;
(2)没有xy项,即__________;
(3)__________________时,它才表示圆.
A=C≠0
B=0
D2+E2-4AF>0
名 师 讲 解
1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2①
明确了圆心C(a,b),半径r,把标准方程展开就可得圆的一般方程:
x2+y2+Dx+Ey+F=0②
(其中D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2).
仅当D2+E2-4F>0时,方程②才表示一个圆.
2.求圆的方程,需知三个条件,知过不共线三点求圆的方程,用一般式简单.知圆心和半径用标准形式简单.
题型一 圆的方程的判断
例1:判断下列方程是否表示圆,若是,化成标准方程.
(1)x2+y2+2x+1=0;
(2)x2+y2+2ay-1=0;
(3)x2+y2+20x+121=0;
(4)x2+y2+2ax=0.
分析:先将方程配方,化成圆的标准形式,然后再作出判断.
典 例 剖 析
解:(1)原方程可化为(x+1)2+y2=0,它表示点(-1,0),不表示圆.
(2)原方程可化为x2+(y+a)2=a2+1,它表示圆心在(0,-a),半径为 的圆,标准方程为x2+(y+a)2=
(3)原方程可化为:(x+10)2+y2=-21<0,故方程不表示任何曲线,故不能表示圆.
(4)原方程可化为(x+a)2+y2=a2.
①当a=0时,方程表示点(-a,0),不表示圆;
②当a≠0时,方程表示以(-a,0)为圆心,半径为|a|的圆,标准方程为(x+a)2+y2=a2.
规律技巧:对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通
过配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆;也可以由圆的
一般方程的定义判断D2+E2-4F是否为正,确定它是否表示圆.
变式训练1:将圆的方程化为标准形式,并写出圆心坐标及半径.
(1)x2+y2+4x-6y-12=0;
(2)4x2+4y2-8x+4y-15=0.
解析:(1)原方程配方得(x+2)2+(y-3)2=25,
∴圆心为(-2,3),半径为5.
题型二 求圆的一般方程
例2:试判断A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点是否在同一圆上.
分析:先求过A､B､C三点的圆的方程,再把D代入圆的方程,看是否成立即可.
解:设A､B､C三点所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把A､B､C三点的坐标分别代入圆的方程得
∴过A､B､C三点的圆的方程是x2+y2-2x+2y-23=0,将D(4,3)代入方程,适合.故A､B､C､D四点在同一圆上.
规律技巧:求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是:
①根据题意,选择标准方程或一般方程;
②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;
③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.
变式训练2:求过三点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的方程.
解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
将A､B､C三点坐标代入整理得

∴所求圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0.
题型三 求动点的轨迹方程
例3:等腰三角形的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.
解:设另一端点C的坐标为(x,y),依题意,得:
|AC|=|AB|,
由两点间距离公式得,

平方整理得,
(x-4)2+(y-2)2=10.
这是以点A(4,2)为圆心,以 为半径的圆,但A､B､C为三角形的顶点,∴A､B､C三点不共线.当B与C重合时,C(3,5),
当BC为直径时,C(5,-1),
∴端点C的轨迹方程是
(x-4)2+(y-2)2=10(3x+y-14≠0).
故端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心, 为半径的圆,但要除去(3,5)和(5,-1)两点.如下图所示.
规律技巧:在求轨迹方程时,必须考虑C点是三角形的一个顶
点,故A､B､C不能共线,这一点容易造成失误,应引起高度重视.
变式训练3:已知点M与两定点A(1,0),B(2,-1)的距离的比为
求点M的轨迹方程,并指出它是什么曲线.
解:设M(x,y),根据题意有
即4[(x-1)2+y2]=(x-2)2+(y+1)2,
∴3x2+3y2-4x-2y-1=0,
易错探究
例4:已知定点P(m,2)在圆x2+y2-2mx-y+m2+m=0的外部,求实数m的取值范围.
错解:∵点P(m,2)在圆外,
∴m2+4-2m2-2+m2+m>0,
∴m>-2.
错因分析:本题错误根本原因没理解圆的一般式方程的定义.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时,应有D2+E2-4F>0这个条件,错解中丢掉了这个隐含条件.
正解:∵点P(m,2)在圆外,
基础强化
1.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是( )
答案:A
2.方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0表示的曲线为圆,则有( )
A.A=C≠0
B.D2+E2-4AF>0
C.A=C≠0且D2+E2-4AF>0
D.A=C≠0且D2+E2-4AF≥0
答案:C
3.圆x2+y2-2x+6y+8=0的周长等于( )
A. B.2π
C. D.4π
解析:将圆的方程配方得(x-1)2+(y+3)2=2,
∴圆的半径 ∴周长为2πr=
答案:C
4.过点P(-8,-1),Q(5,12),R(17,4)三点的圆的圆心坐标是( )
A.(5,1) B.(4,-1)
C.(5,-1) D.(-5,-1)
解析:∵圆心到P,Q,R的距离相等,代入选项的坐标,知C成立.
答案:C
5.圆(x+2)2+y2=5关于原点对称的圆的方程为( )
A.(x-2)2+y2=5 B.x2+(y-2)2=5
C.(x+2)2+(y+2)2=5 D.x2+(y+2)2=5
解析:点(x,y)关于原点(0,0)的对称点是(-x,-y),因此圆心(-2,0)关于原点(0,0)对称点为(2,0),半径不变,所以方程为(x-2)2+y2=5.
答案:A
6.圆心为(2,-3),一条直径的两个端点分别落在x轴和y轴上的圆的方程为( )
A.(x+2)2+(y+3)2=52
B.(x-2)2+(y+3)2=
C.(x-2)2+(y+3)2=13
D.(x-2)2+(y-3)2=
解析:设一条直径的端点坐标分别为(x0,0),(0,y0).由题意得,
=-3,∴x0=4,y0=-6,
∴圆的半径为
∴所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13.
答案:C
7.已知圆x2-4x-4+y2=0的圆心是P,则点P到直线x-y-1=0的距离是________.
解析:已知圆的圆心P坐标为(2,0),∴P到直线x-y-1=0的距离为
8.点A(1,0)在圆x2+y2-2ax+a2+3a-3=0上,则a的值为
________.
-2
能力提升
9.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于A(0,-4),B(0,-2)两点,求圆C的方程.
解:设圆C的方程为
x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则圆心 在直线上.
由①②③解得
D=-4,E=6,F=8.
∴圆的方程为
x2+y2-4x+6y+8=0.
10.已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3),
(1)若P(m,m+1)在圆C上,求线段PQ的长及直线PQ的斜率;
(2)若P为圆C上任意一点,求|PQ|的最大值和最小值.
解:(1)点P在圆C上代入得
m2+(m+1)2-4m-14(m+1)+45=0,
解得m=4.
∴点P为(4,5),
故|PQ|=
(2)由题意知|PQ|取得最大值或最小值时,P点为过Q与圆心C的直线与圆C的两个交点.易知:
|PQ|最大值为|QC|+R= (R为圆C半径).
最小值为|QC|-R=
11.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为 则a的值为( )
A.-2或2 B.
C.2或0 D.-2或0
解析:已知圆的方程为
(x-1)2+(y-2)2=5,∴圆心C(1,2),
由题意得,
∴|a-1|=1,∴a=2或0.
答案:C
12.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是( )
A.x+y+1=0 B.x+y-1=0
C.x-y+1=0 D.x-y-1=0
解析:由题知圆心C(-1,0),斜率k=1,
故所求的直线方程为y=x+1,即x-y+1=0.
答案:C