圆的一般方程
教学目标
1、掌握圆的一般方程及一般方程的特点
2、能将圆的一般方程化为圆的标准方程
3、能用待定系数法由已知条件导出圆的方程
4、培养学生数形结合思想,方程思想,提高学 生分析问题及解决问题的能力.
重点:圆的一般方程及一般方程的特点
难点:圆的一般方程的特点及用待定系数法求 圆的方程.

圆的标准方程的形式是怎样的？
从中可以看出圆心和半径各是什么？
[复习与回顾]
圆的一般方程
【课前练习】
1.圆心在（-1,2），与 y 轴相切的圆的方程.
(x+1)2+(y-2)2=1
2.已知圆经过P(5,1),圆心在C(8,3),求圆方程
(x-8)2+(y-3)2=13
3.已知两点A(4,9)、B(6,3), 以AB为直径的圆的方程是
(x-5)2+(y-6)2=10
(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4
4.求圆心在直线y = x上,与两轴同时相切,半径为2的圆的方程.
小结:利用圆的标准方程解题需要确定圆的圆心和半径.
2
二、[导入新课]
1、同学们想一想，若把圆的标准方程

展开后，会得出怎样的形式？
2、那么我们能否将以上形式写得更简单一点呢？
3、反过来想一想，形如上式方程的曲线就一定是圆吗？

4、将
左边配方，得
(1)当
时,
可以看出它表示以
为圆心,
以
为半径的圆;
D2+E2-4F>0
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解,不表示任何图形．
[观察]：圆的标准方程与圆的一般 方程在形式上的异同点.
圆的标准方程

圆的一般方程
[说明]：
(1)圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径 ；
(2)圆的一般方程突出了方程形式上的特点.
①是
②不是
③不是
例1：
下列方程各表示什么图形?
若是圆则求出圆心、半径.
例2：
(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
一般方程
标准方程
[小结一]:
P123 练习1,2
例4：求过三点 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
解：设圆的方程是 ①.

因为O，M1，M2三点都在圆上，所以他们的坐标都是方程①的解，把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的三元一次方程组

所以，圆的方程为

圆心坐标是（4，-3），半径长
例5：已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解：设点M的坐标（x,y）,点A的坐标 .由于点B的坐标是（4,3），且点M是线段AB的中点，所以

于是有 ①因为点A在圆
即 ②，把①代入②，得
整理得

所以点M的轨迹是以 为圆心，半径长是1的圆.
P123 练习3
小结
1.圆的一般方程: X2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0).
2.圆的一般方程与圆的标准方程的关系:
(1)

(2)圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆的圆心及半径,而一般方程突出了方程形式上的特点.
3.圆的标准方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系:
(1)A=C≠0,(2)B=0,(3) D2+E2-4F>0时,二元二次方程才表示圆的一般方程.
4.圆的一般方程的特点:
(1)x2和y2的系数相同且不等于0.
(2)没有xy这样的二次项,因此只要求出了D,E,F就求出了圆的一般方程.
1. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
(用配方法求解)
3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?

2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系
一般方程
标准方程(圆心,半径)
小结
几何方法
求圆心坐标
（两条直线的交点）（常用弦的中垂线）
求半径 （圆心到圆上一点的距离）
写出圆的标准方程
待定系数法
列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组
解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）
小结求圆的方程
例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
x
y
O
E
A(5,1)
B(7,-3)
C(2,-8)
几何方法
方法一：
方法二：待定系数法

待定系数法
解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
所求圆的方程为
例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
方法三：待定系数法

解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
所求圆的方程为
例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
注意:求圆的方程时,要学会根据题目
条件,恰当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用
圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用
圆的一般方程用待定系数法求解.
[小结二]:
(特殊情况时,可借助图象求解更简单)
综合检测：自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴
反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0
相切， 求反射光线所在直线的方程.
•
B(-3，-3)
课堂检测：
1.已知圆过点P(－4，3)，圆心在直线
2x－y＋1＝0上，且半径为5，求这个
圆的方程．
变式1 求满足下列条件的各圆C的方程：
(1)和直线4x＋3y－5＝0相切，圆心在直线x－y＋1=0上，半径为4；
(2)经过两点A(－1，0)，B(3，2)，圆心
在直线x＋2y＝0上．
的内部，求实数a 的取值范围．
变式2 若点(1， )在圆x2＋y2－2ax－2 ay＝0(a≠0)的外部，求实数a的取值范围．
3.画出方程x－1＝ 表示的曲线 .
变式3 画出方程y＝3＋ 表示的曲线.
2.若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4
本节小结：
圆的标准方程和一般方程；
用待定系数法求方程中的基本量．

课后作业：
必做：P124：2、3 选做：P144：7、8．
谢谢!