4.1.2 圆的
一般方程
复习引入
圆的标准方程是什么？
复习引入
圆的标准方程是什么？
(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
讲授新课
对方程x2+y2-2x+4y+1=0配方，化为
圆的标准方程形式，则圆心、半径
分别是？
讲授新课
对方程x2+y2-2x+4y+1=0配方，化为
圆的标准方程形式，则圆心、半径
分别是？
2.对方程x2+y2-2x-4y+6=0配方，能化
为圆的标准方程形式吗？
讲授新课
对方程x2+y2-2x+4y+1=0配方，化为
圆的标准方程形式，则圆心、半径
分别是？
探究：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么
条件下表示圆？
2.对方程x2+y2-2x-4y+6=0配方，能化
为圆的标准方程形式吗？
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 ①
②
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 ①
(1) 当D2＋E2－4F＞0时，方程①表示以
②
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 ①
为圆心，
为半径的圆.
②
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 ①
(2) 当D2＋E2－4F＝0时，方程①表示点
②
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 ①
(2) 当D2＋E2－4F＝0时，方程①表示点
(3) 当D2＋E2－4F＜0时，方程①没有实
数解，因而它不表示任何图形．
结 论：
当D2＋E2－4F＞0时，
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程．
例1.求过三点O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2)
的圆的方程, 并求这个圆的半径长和圆
心坐标.
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤：
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤：
1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤：
1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式；
2. 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F
的方程；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤：
1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式；
2. 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F
的方程；
3. 解方程组，求出a、b、r或D、E、F的
值，代入所设方程，就得要求的方程．
例2. 圆心在直线x－y－4＝0上，并且经过圆x2＋y2＋6x－4＝0与圆x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程．
解：因为所求圆经过两已知圆的交点，故可设其方程为：
x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0 即x^2＋y^2＋[6/(1+λ)]X+[6λ/(1+ λ)]y-(4+28λ)/(1+λ)＝0……………………①
设圆圆心为：(-3/(1+ λ)，-3λ/(1+λ))
因为圆心在直线x－y－4＝0上，
故－3/(1+ λ)+3λ/(1+λ)－4＝0，
解得：λ＝-7 代入①可得所求圆的方程：
x^2＋y^2－x＋7y－32＝0
例3.已知线段AB的端点B的坐标是
(4, 3)，端点A在圆(x＋1)2 ＋y2＝4
上运动，求线段AB的中点M的轨迹
方程．
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是
(4, 2)，底边一个端点B的坐标是
(3, 5)，求另一端点C的轨迹方程，
并说明它是什么图形.
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是
(4, 2)，底边一个端点B的坐标是
(3, 5)，求另一端点C的轨迹方程，
并说明它是什么图形.
解：设c点坐标为(a,b) 则
(a-4)^2+(b-2)^2=(4-3)^2+(2-5)^2=10
端点C的轨迹方程以（4，2）为圆心 为半径的圆 A，B，C三点不共线，点（5，-1）除外，B点除外
例5. 长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程.
例5. 长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程.
解：建立直角坐标系，原点为O，A在x轴上，
B在y轴上，连接AB 设中点P的坐标为（x，y），
则A坐标为（2x，0）B坐标为（0，2y）
根据勾股定理，AO^2 + BO^2 = AB^2
就有 （2x)^2 + (2y)^2 = (2a)^2
化简得 x^2+y^2=a^2
练习
1. P.123练习第3题.
2. 已知一曲线是与两定点O(0, 0),A(3, 0)
的距离的比为 的点的轨迹，求这个
曲线的方程，并画出曲线
课堂小结
1. 圆的一般方程和标准方程；
2. 配方法和待定系数法.
课后作业
P124 A组 第6题 B组 第3题