3.3.2两点间的距离
一、两直线的交点：
设两直线的方程是：
L1：A1x+B1y+C1=0 L2：A2x+B2y+C2=0
ï
î
ï
í
ì
Û
ï
î
ï
í
ì
平行
重合
相交
无解
无穷多解
唯一解
的方程解方程组
联立直线
2
1
2
1
2
1
1
,
,
,
,
l
l
l
l
l
l
l
2
l
二、根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？
1.两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y轴上，则m的值是
(A)0 (B)－24 (C)±6 (D)以上都不对
2.若直线kx－y+1=0和x－ky = 0相交，且交点在第二象限，则k的取值范围是
(A)（- 1，0） (B)（0，1]
(C)（0，1） (D)（1，＋∞）
3.若两直线(3－a)x+4y=4+3a与2x+(5－a)y=7平行，则a的值是
(A)1或7 (B)7 (C)1 (D)以上都错
C
B
A
已知平面上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),如何求P1 P2的距离
| P1 P2 |呢?
两点间的距离
Q
(x2,y1)
(1) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
两点间的距离
(2) x1≠x2, y1=y2
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
x
y
o
y
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
两点间的距离
(3) x1 = x2, y1 ≠ y2
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
x
y
o
两点间距离公式
x
y
P (x,y)
O(0,0)
|y|
|x|
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、C(0，-4),D(0，-1)
(3)、P(6，0),Q(0，-2) (4)、M(2，1),N(5，-1)
解：
2、已知点A（a, -5）与点B（0，10）间的距离等于17，求点a的值.
3、求在y轴上与点A(5,12)的距离为13的坐标；
4、已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的距离等于10，求点P的纵坐标.
P(7,-1)或P(7,11)
5、已知点A(7,-4) ，B(-5,6), 求线段AB的垂直平分线的方程
化简得：6x-5y-1=0
例4.证明平行四边形四条边的平方和和等于两条对角线的平方和。
证明：以A为原点，AB为x轴
建立直角坐标系。
x
y
A
B
C
D
(0,0)
(a,0)
(b,c)
(a+b,c)
则四个顶点坐标分别为
A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c)
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
解析法
第二步:进行有关代数运算
第三步:把代数运算结果翻译成几何关系。
第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量。
证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.
(0,0)
(a,0)
(0,b)
解题参考
1、平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
2、坐标法证明简单平面几何问题的步骤
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步：进行有关的代数运算；
第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.
对称问题
-------点关于点的对称问题
点A(x,y)关于点M(m,n)对称的点B为(2m-x,2n-y);特别地,P(x,y)关于原点(0,0)的对称点坐标为(-x,-y).
练习:
(1)求点P(2,5)关于点Q(-3,-7)的对称点.
(2)若点A(0,-3)关于点M的对称点为B(-7,5).求M的坐标.
对称问题
——点关于直线的对称问题
例：求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.
解法1：设B(m,n）由点关于直线对称的定义知:
联立①② 解得m=9 n= -7
∴B(9,-7)
例：求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.
解法2：∵直线AB⊥l, 直线AB过点（-7，1）
由中点坐标公式得B的坐标为（9，-7）.
即AB的中点为（1，-3） ，又A（-7，1）
对称问题——点关于直线的对称问题
(2)（分步求解）可先求直线AB的方程,然后解出直线AB与直线l的交点即线段AB的中点M的坐标,最后利用中点坐标公式,求出对称点B的坐标.
由（1）（2）可解得x , y的值即对称点B的坐标
小结:求点A(x0,y0)关于直线L: Ax + By +C=0对称点B (x, y)的方法:
(1)（综合求解） 由点关于直线对称的定义及直线L垂直平分线段AB得方程组:
对称问题——点关于直线的对称问题
练习：（1）求点P（3，5)关于直线l:x-3y+2=0的对称点P’的坐标.
(2)已知点A(2,0),B(-3,-1),在直线l:x+y-3=0上求一点P使|PA|+|PB| 最小，最小值是多少？
（5，-1）