3.2　直线的方程
3.2.1　直线的点斜式方程
直线与方程
1．了解直线可以由直线上的一点坐标与斜率确定．
2．会由直线的一点坐标与斜率求直线的方程．
3.了解斜截式方程y=kx+b是点斜式方程的特殊形式.
4．会根据直线的点斜式方程求直线的截距．
基础梳理
1．直线的点斜式方程和斜截式方程
y－y0＝k(x－x0)　y＝kx＋b
练习1.直线的点斜式方程能否表示平面上的所有直线？
2．直线l的截距
(1)直线在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的______．
(2)直线在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的______．
练习2.(1)能否用斜截式表示平面内的所有直线？
(2)y＝kx＋b中b的含义是什么？
练习1.不能　不能表示垂直于x轴的直线
2．(1)纵坐标　(2)横坐标
练习2. (1)不能表示与x轴垂直的直线．
(2)截距b就是函数图象与y轴交点的纵坐标．
思考应用
1．直线方程的斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得到什么结论？
解析：当k≠0时，斜截式方程即为一次函数表达式．
2．直线l的截距一定是非负吗？
解析：截距不是距离，可正，可负，也可是0.
自测自评
1．直线的方程y－y0＝k(x－x0)(　　)
A．可以表示任何直线
B．不能表示过原点的直线
C．不能表示与y轴垂直的直线
D．不能表示与x轴垂直的直线
2．斜率为4，通过点(2，－3)的直线方程是(　　)
A．y＋3＝4(x－2) B．y－3＝4(x－2)
C．y－3＝4(x＋2) D．y＋3＝4(x＋2)
D
A
3．直线y＝ax＋b(a＋b＝0，ab≠0)的图象可能是下列图中的(　　)

4．已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为_______________________．
D
y－1＝－(x－2)
5．已知△ABC的三个顶点A(1,3)，B(5,7)，C(10,12)，则BC边上的高所在直线的方程为_________________．
直线的点斜式方程
你能写出下列直线的点斜式方程吗？
(1)经过点A(2,5)，斜率是4；
(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；
(4)经过点D(1,1)，与x轴垂直．
解析：(1)y－5＝4(x－2)；
(2)∵k＝tan 45°＝1，∴y－3＝x－2；
(3)y＝－1；
(4)x＝1.
跟踪训练
1．写出下列直线的点斜式方程．
(1)斜率是3，经过点(0，－3)；
(2)倾斜角是60°，经过点(1,2)；
(3)倾斜角是150°，经过点(0,0)．
解析：(1)y＋3＝3x
(2)∵k＝tan 60°＝ ，∴y－2＝ (x－1)
(3)∵k＝tan 150°＝－ ，∴y＝－ x.
直线的斜截式方程
写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)倾斜角是150°，在y轴上的截距是0.
解析：(1)y＝3x－3.
(2)∵k＝tan 60°＝ ， ∴直线方程为y＝ x＋5.
(3)∵k＝tan 150°＝－ ，
∴直线方程为y＝－ x.
点评：直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，可以是负数、零、正数．
跟踪训练
2．写出斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m为何值时，直线通过点(1,1)?
解析：由直线方程的斜截式，得直线方程为y＝2x＋m.
∵直线通过点(1,1)，将x＝1，y＝1代入方程y＝2x＋m得1＝2×1＋m，
∴m＝－1.
利用平行与垂直条件求直线的方程
(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线方程；
(2)求经过点(0,2)，且与x轴平行的直线方程；
(3)求经过点(－1,1)，且与直线y＝－2x＋7垂直的直线方程；
(4)求经过点(－2，－2)，且与x轴垂直的直线方程．
解析：(1)由y＝2x＋7得k1＝2，由两直线平行知k2＝k1＝2，
∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)．
(2)∵所求直线与x轴平行，∴斜率为0.
又过(0,2)点，∴所求直线方程为y＝2.
(3)由y＝－2x＋7得k1＝－2，由两直线垂直知
k1k2＝－1，
∴k2＝ ，
∴所求直线方程为y－1＝ (x＋1)．
(4)∵所求直线与x轴垂直，
∴斜率不存在．
又过(－2，－2)点，
∴所求直线方程为x＝－2.
点评：利用已知条件，寻求所求直线的斜率以及经过的一点，从而写出直线方程．
跟踪训练
3．已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
解析：由题意，直线l的斜率为k＝－2，且在y轴上的截距为－2，故l的方程为y＝－2x－2.
两直线位置关系的综合应用
求斜率为 且与两坐标轴围成的三角形周长为12的直线方程．
点评：解此题时要注意b为截距，“截距”不是距离，故解题时距离为截距的绝对值．
跟踪训练
4．(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
解析：(1)由题意可得，k1＝－1，k2＝a2－2，因为l1∥l2，所以 解得a＝－1，所以当a＝－1时，直线l1∥l2.
(2)由题意可得，k1＝2a－1，k2＝4，因为l1⊥l2，所以4(2a－1)＝－1，解得a＝ ，所以当a＝ 时，直线l1⊥l2.
点评：两条直线的斜率均存在时，若l1∥l2，则k1＝k2且b1≠b2，若l1⊥l2则k1k2＝－1.要注意当两条直线斜率均不存在时，仍然有l1∥l2；若一条直线的斜率不存在，一条直线的斜率为0，则有l1⊥l2.在解决有关两直线的位置关系的题目时一定要注意直线斜率的存在与否．
1．经过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程是(　　)
A．y＋2＝ (x－3)
B．y－2＝ (x＋3)
C．y－2＝ (x＋3)
D．y＋2＝ (x－3)
2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　)
A．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－2,1)，斜率为－1
D．直线经过点(1，－2)，斜率为－1
C
A
1．直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)和斜截式y＝kx＋b都是在斜率k存在的前提下使用．
2．注意区分截距和距离．截距可取一切实数，即可为正数、零、负数；而距离必须大于等于0.
3．数形结合解题．本章是用代数方法解决几何问题，因此画草图是必不可少的步骤，也是正确解题的前提和保证.
祝
您
学业有成