3.2　直线的方程
3.2.1　直线的点斜式方程
1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围.
2.熟练求出直线的点斜式和斜截式方程.
1.直线的点斜式方程
(1)已知直线(斜率存在)过两点P(x,y),P0(x0,y0),则直线的斜
率_________.
(2)已知直线过点P0(x0,y0),且斜率为k,则直线方程是
____________.
(3)过定点P(x0,y0),与x轴平行的直线的方程为____;与y轴平
行的直线的方程为____.
y-y0=k(x-x0)
y=y0
x=x0
2.直线的斜截式方程
(1)已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则该直线的
斜截式方程为_______.
(2)b是直线l在y轴上的_____.
3.两直线平行与垂直的条件
对于直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,
l1∥l2⇔k1=k2,且______;
l1⊥l2⇔_______.
y=kx+b
截距
b1≠b2
k1k2=-1
1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)任何一条直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示.(　　)
(2)斜截式y=kx+b可以表示斜率存在的直线.(　　)
(3)直线y=2x-1在y轴上的截距为1.(　　)
(4)斜率为0的直线不能用直线的点斜式表示.(　　)
提示：(1)错误.垂直于x轴的直线斜率不存在,故不能用点斜式方程表示.
(2)正确.直线的斜截式y=kx+b中的几何要素为斜率k与纵截距b,故斜截式y=kx+b适用于斜率存在的直线.
(3)错误.直线y=2x-1在y轴上的截距为-1,而不是1.
(4)错误.斜率为0,故斜率存在,故该直线能用点斜式表示.
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线
上).
(1)直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则该直线的斜率
为　　　　.
(2)已知直线l的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-2,则该直线l
的斜截式方程为　　　　.
(3)直线l的点斜式方程是y- =2(x-1),则直线l的纵截距
为　　　　.
(4)过点(1,2)且与 平行的直线方程为______．
【解析】(1)由直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)可知，直线l
的斜率为k=3．
答案：3
(2)直线l的倾斜角为60°，所以直线的斜率k= ，又直线l
在y轴上的截距为-2，所以直线l的斜截式方程为y= x-2．
答案：y= x-2
(3)根据直线l的点斜式方程是y- =2(x-1)，
令x=0，得y= -2，故该直线的纵截距为 -2．
答案： -2
(4)设所求直线的方程为y=kx+b，则k=- ，把点(1,2)代入
得2=- +b，所以b= ，故所求直线方程为 ．
答案：
一、直线的点斜式方程
探究1：观察下面图象并结合直线的点斜式方程,思考下列问题
(1)直线l过点P0(x0,y0),且斜率为k,那么直线上的点P(x,y)应
满足什么条件?
提示：直线l过点P0(x0,y0),且斜率为k,当x≠x0时,由斜率公
式得,直线l上的点P(x,y)满足 所以点P(x,y)满足
y-y0=k(x-x0).当x=x0,y=y0时也满足y-y0=k(x-x0),故P(x,y)
满足y-y0=k(x-x0).
(2)直线l的点斜式方程能否写成 ?
提示：不能,直线l上的点都满足y-y0=k(x-x0),而直线
不包含点P0(x0,y0).
(3)直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线?
提示：不能.直线的点斜式方程的两要
素为斜率k与点P0(x0,y0),故只有斜率
存在的直线才能用点斜式表示.
探究提示：考虑斜率的取值.
探究2：根据直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)及有关提示填
空：
(1)过点P0(x0,y0),平行于x轴的直线方程为　　　　　　　.
(2)过点P0(x0,y0),平行于y轴的直线方程为　　　　　　　.
提示：直线平行于x轴,其斜率为0,由直线的点斜式方程y-y0
=k(x-x0),可知y=y0;平行于y轴的直线斜率不存在,故不能用
直线的点斜式表示.因为这时,直线上的点的横坐标都等于
P0(x0,y0)的横坐标x0,所以该直线的方程是：x=x0.
答案：(1)y=y0　(2)x=x0
【探究提升】直线的点斜式方程及其适用范围
(1)直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0),几何要素：①斜率k,
②定点P0(x0,y0).
(2)适用范围：斜率存在的直线.
二、直线的斜截式方程
探究1：斜率为k,与y轴的交点为(0,b)的直线方程是什么?
提示：根据直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0),可得该直线的方程为y-b=k(x-0),化简得y=kx+b,即直线的斜截式方程.
探究2：根据直线的斜截式方程y=kx+b,思考下列问题：
(1)观察直线方程y=kx+b,它的形式具有什么特点?
提示：直线方程y=kx+b,左端y的系数恒为1,右端x的系数k和常数b均有明显的几何意义,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距.
(2)能否将直线的斜截式方程y=kx+b写成点斜式?它与直线的点斜式方程有何关系?
提示：能,方程y=kx+b,可写成y-b=k(x-0).
直线方程的斜截式是点斜式的一种特殊情况．
【探究提升】
1.直线的点斜式与斜截式方程的关系
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,即过定点P(0,b),它们都不能表示斜率不存在的直线.
(2)在直线方程的各种形式中,点斜式是最基本的形式,它是推导其他形式的基础.
(3)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程的形式,点斜式的形式不唯一,而斜截式的形式是唯一的.
2.直线方程的斜截式与一次函数解析式的区别与联系
(1)斜截式方程中,k≠0时,y=kx+b即为一次函数,k=0时,y=b不是一次函数.
(2)一次函数y=kx+b(k≠0)一定可以看成一条直线的斜截式方程.
【拓展延伸】直线y=kx+b在坐标平面上的位置分布
(1)当k=0,b=0时,直线为x轴.
(2)当k=0,b≠0时,直线平行于x轴.
(3)当k>0,b>0时,直线过第一、二、三象限.
(4)当k>0,b<0时,直线过第一、三、四象限.
(5)当k<0,b>0时,直线过第一、二、四象限.
(6)当k<0,b<0时,直线过第二、三、四象限.
类型 一 直线的点斜式方程
　　尝试完成下列题目,体会利用点斜式求直线方程的步骤,能根据题目中的条件写出直线的点斜式方程.
1.过点(1,0),斜率为2的直线的点斜式方程为　　　　.
2.直线l过点P(-2,3)且与x轴,y轴分别交于A,B两点,若P恰为线段AB的中点,求直线l的点斜式方程.
【解题指南】1.由斜率和定点的坐标,根据直线的点斜式写出直线的方程.
2.先设出直线的斜率,再根据直线过定点写出直线的点斜式方程,根据中点坐标公式求出直线的斜率,从而得出直线的方程.
【解析】1.根据直线方程的点斜式，
得直线的方程为y-0=2(x-1)．
答案：y-0=2(x-1)
2.设直线l的斜率为k，因为直线l过点(-2，3)，
所以直线l的方程为y-3=k［x-(-2)］，令x=0，
得y=2k+3；令y=0得
所以A，B两点的坐标分别为A( -2,0)，B(0，2k+3).
因为AB的中点为(-2，3)，

所以 解得 ，

所以直线l的方程为y-3= (x+2).
【技法点拨】求直线的点斜式方程的三个步骤
(1)确定直线要经过的定点(x0,y0).
(2)求出直线的斜率k.
(3)由点斜式写出直线的方程.
【变式训练】已知直线l过点A(2,-3).
(1)若直线l与过点(-4,4)和(-3,2)的直线l′平行,求其方程.
(2)若直线l与过点(-4,4)和(-3,2)的直线l′垂直,求其方程.
【解题指南】根据已知条件求出直线斜率,代入点斜式方程求解.
【解析】(1)由斜率公式得
因为l与l′平行，所以kl=-2．
由直线的点斜式方程得y+3=-2(x-2).
即y=-2x+1.
(2)因为直线l′的斜率为k=-2，l与l′垂直，所以kl= ，由
直线的点斜式方程得y+3= (x-2).
即y= x-4.
类型 二 直线的斜截式方程
试着解答下列题目,体会利用斜截式求直线方程的策略，
能根据题目中的条件写出直线的斜截式方程．
1.直线y=-2x-1的斜率与纵截距分别为( )
A.-2，-1 B.2，-1
C.-2，1　　　　　 D.2，1
2.倾斜角为30°，且过点(0,2)的直线的斜截式方程为______.
3.直线l′的方程是y= x+1，直线l的倾斜角比直线l′的倾斜
角小30°，且直线l过点(3,4)，求直线l的方程．
【解题指南】1.根据直线的斜截式得出直线的斜率与纵截距.
2.由直线的倾斜角及点(0,2)得出直线的斜率及在y轴上的截距.
3.先设出直线的斜截式方程,根据倾斜角与斜率的关系求出直线的斜率,从而得出直线的方程.
【解析】1.选A.由直线的斜截式方程可知，直线y=-2x-1的斜
率与纵截距分别为-2，-1．
2.由题意知斜率k=tan 30°=
又直线过点(0,2)，所以直线在y轴上的截距为2,
所以直线的斜截式方程为
答案：
3.已知直线y= x+1的斜率为kl′= ，
所以直线l′的倾斜角为60°，所以直线l的倾斜角为30°，
设直线l的斜截式方程为y=kx+b，则k=tan 30°=
又直线l过点(3,4),所以4= ×3+b,所以b=4- ，
所以直线l的方程为
【互动探究】若题3中的“直线l的倾斜角比直线l′的倾斜角小30°”改为“直线l与直线l′的夹角为30°”，求直线l的方程．
【解析】已知直线y= x+1的斜率为kl′= ，
所以直线l′的倾斜角为60°，因此直线l的倾斜角为30°或
90°.当直线l的倾斜角为30°时，直线l的斜率kl= ，所以
直线l的方程为y-4= (x-3)，即y= 当直线l的
倾斜角为90°时，直线l的斜率不存在，又直线l过点(3,4)，
所以直线l的方程为x=3．所以直线l的方程为y= x- +4或
x=3．
【技法点拨】直线的斜截式方程的求解策略
(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可．
(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程．
(3)根据直线的方程判断直线的位置关系，通常把直线转化成斜截式的形式，利用斜率和截距的几何意义作出判断．
提醒：在利用直线的点斜式或斜截式求解直线方程时，注意直线的斜率是否存在．
类型 三 两条直线的平行与垂直的应用
通过完成下列题目,体会两条直线的位置关系，并能根据
两条直线的位置关系解决有关问题．
1.已知直线l： 与直线l′： 平行，且直线
l： 与y轴的交点为(0,1)，则a=_______,b=_______.
2.已知直线l与直线y=- x+1垂直，且与直线y=3x+5在y轴上
的截距相同，求直线l的方程.
【解题指南】1．根据两直线的位置关系，得出所求直线的斜率，进而可用所求直线与y轴的交点，得出直线在y轴上的截距，列方程组求解．
2.由两直线垂直知两直线的斜率之积等于-1，可求得l的斜率；根据与直线y=3x+5在y轴上的截距相同，求出l的纵截距，从而得出直线l的方程.
【解析】1.由直线 与直线 平行，且直线
l与y轴的交点为(0,1)，
答案： 2
2.直线l与y=- x+1垂直，所以l的斜率为2;与直线y=3x+5在y
轴上的截距相同，所以l的纵截距为5，所以直线l的方程为
y=2x+5.
【技法点拨】判断两条直线位置关系的方法总结
直线l1：y=k1x+b1,直线l2：y=k2x+b2.
(1)若k1≠k2,则两直线相交.
(2)若k1=k2,则两直线平行或重合,
当b1≠b2时,两直线平行;
当b1=b2时,两直线重合.
(3)特别地,当k1·k2=-1时,两直线垂直.
(4)对于斜率不存在的情况,应单独考虑.
【变式训练】当a为何值时,直线l1：y=(2a-1)x-5与直线l2：
y=4x+8垂直.
【解析】由题意知,k1=2a-1,k2=4,因为l1⊥l2,所以4(2a-1)=-1,
解得a= ,所以当a= 时,直线l1：y=(2a-1)x-5与直线l2：
y=4x+8垂直.
拓展类型 平行直线系与垂直直线系
　　尝试完成下列题目,体会两种直线系的区别与联系,并能根据两种直线系解决有关问题.
1.过点A(2,-3),且与直线y=-2x+5平行的直线l的方程为　　　　　　　　;与直线y=-2x+5垂直的直线l的方程为　　　　　　　　　.
2.直线l：y=kx+b与直线l′：2x-y-4=0垂直,且直线l不过第三象限,试确定k,b的值.
【解题指南】根据两直线的位置关系,得出所求直线的斜率,进而可设出所求直线的斜截式方程,利用待定系数法求出直线在y轴上的截距.
【解析】1.已知直线为y=-2x+5,由l与其平行,则可设直线l的
方程为y=-2x+b,又l过点A(2,-3),有-3=-2×2+b,所以b=1,所
以直线l的方程为y=-2x+1.由l与直线y=-2x+5垂直,则可设直线
l的方程为y= x+c,又l过点A(2,-3),有-3= ×2+c,所以c=-4,
所以直线l的方程为y= x-4.
答案：y=-2x+1　y= x-4
2.由2x-y-4=0,得y=2x-4,因为l⊥l′,
所以直线l的方程可设为y=- x+b,又直线l不过第三象限,所以
b≥0.所以k=- ,b≥0.
【技法点拨】求与已知直线平行或垂直的直线的方法
若已知直线l：y=kx+b
①与直线l平行的直线系方程可设为：y=kx+b′;
②与直线l垂直的直线系方程可设为：y= +b′(k≠0).
若直线l的斜率不存在时
①与直线l平行的直线系方程可设为：x=b′;
②与直线l垂直的直线系方程可设为：y=b′.
然后根据题中所给条件求出所设方程中的纵截距b′.
1.过点(1,3)且斜率不存在的直线方程为(　　)
A.x=1 B.x=3
C.y=1 D.y=3
【解析】选A.过点(1,3)且斜率不存在的直线上的点的横坐标为1,故直线方程为x=1.
2.过点(2,0),且倾斜角是135°的直线方程为(　　)
A.x+y-2=0 B.x-y-2=0
C.x+y+2=0 D.x-y+2=0
【解析】选A.设所求直线的斜截式方程为y=kx+b,
因为直线的倾斜角为135°,
所以k=tan135°=-1.
把点(2,0)代入直线方程,得0=-2+b.
所以b=2,
所以所求直线方程为y=-x+2,
即x+y-2=0.
3.已知两条直线y=ax-2和y=(2-a)x+1互相平行,则a等于(　　)
A.2 B.1 C.0 D.-1
【解析】选B.两条直线互相平行,则2-a=a,所以a=1.
4.已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y=x+1垂直,则l1的点斜式方程为　　　　.
【解析】设l1的斜率为k1,l2的斜率为k2,
因为l1⊥l2,所以k1·k2=-1.
又k2=1,所以k1=-1.
所以l1的点斜式方程为y-1=-(x-2).
答案：y-1=-(x-2)
5．已知直线 的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的
5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程．
(1)过点P(3，-4).
(2)在x轴上截距为－2.
(3)在y轴上截距为3．
【解析】直线y＝－ x＋5的斜率k＝tan α＝－ ,　
所以α＝150°，故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k'＝ .
(1)过点P(3，－4)，由点斜式方程得
y＋4＝ (x－3)，所以y＝ x－ －4.
(2)在x轴上截距为－2，即直线l过点(－2,0)，
由点斜式方程得y－0＝ (x＋2)，
所以
(3)在y轴上截距为3，由斜截式方程得y＝ x＋3.