3.1.2　两条直线平行与垂直的判定
1.掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判断两条直线是否平行或垂直.
2.通过两条直线斜率之间的关系判断其几何关系,初步体会数形结合思想.
1.两条直线的平行
(1)如果两条直线的斜率存在,设这两条直线的斜率分别为
k1,k2.若两条直线平行,则它们的斜率_____;反之,若两条直
线的斜率相等,则它们_____,即l1∥l2⇔_____.
(2)如果两条直线的斜率都不存在,那么这两条直线的倾斜角
都为_____,这两条直线互相_____.
相等
平行
k1=k2
90°
平行
2.两条直线的垂直
(1)当一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,这两
条直线_________.
(2)当两条直线的斜率都存在时,设斜率分别为k1,k2.若两条直
线互相垂直,则它们的斜率___________;反之,若两条直线的
斜率互为负倒数,则它们_________, l1⊥l2 ________
_________．
互相垂直
互为负倒数
互相垂直
k1·k2=-1
1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)互相平行的两条直线斜率相等.(　　)
(2)若直线l1,l2互相垂直,则其斜率满足k1·k2=-1.(　　)
(3)斜率都为0的两条直线平行.(　　)
提示：(1)错误.有时斜率不一定存在,只有斜率都存在
时,相互平行的两条直线的斜率才相等.
(2)错误.只有斜率都存在时,相互垂直的两条直线的斜率才满足k1·k2=-1.
(3)正确.斜率都为0的两条直线,倾斜角都为0°,故两直线平行.
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).
(1)直线l1,l2满足l1⊥l2,若直线l1的倾斜角为30°,则直线l2的斜率为　　　　　　.
(2)直线l1过点A(0,3),B(4,-1),直线l2的倾斜角为45°,则直线l1与l2的位置关系是　　　　　　.
(3)直线l1过A(-2,m)和B(m,4),直线l2的斜率为-2,且l1∥l2,则m=　　　　　　.
【解析】(1)因为直线l1的倾斜角为30°,所以其斜率k1= .
又因为l1⊥l2,所以k1·k2=-1,所以k2=- .
答案：-
(2)因为直线l1过点A(0,3),B(4,-1),则直线l1的斜率
直线l2的斜率k2=tan 45°=1,
因为k1·k2=-1,所以l1⊥l2.
答案：l1⊥l2
(3)由题知直线l1的斜率存在,则直线l1的斜率 因为
直线l2的斜率 =-2,
且l1∥l2，所以 =-2，即 所以m=-8.
答案：-8
一、两直线平行的条件
探究1：已知两直线l1与l2平行,请根据两条直线平行的条件思考下列问题：
(1)直线l1的倾斜角α1与直线l2的倾斜角α2相等吗?
提示：直线l1,l2满足l1∥l2,即两条直线向上方向与x轴正向夹角相等,故直线l1,l2的倾斜角相等.
(2)直线l1的斜率k1与直线l2的斜率k2的关系如何?
提示：①当两条直线的倾斜角都为90°时,两直线的斜率都不存在;②当两条直线的斜率都存在时,直线l1的倾斜角α1与直线l2的倾斜角α2相等,故tanα1=tanα2,即k1=k2.
探究2：设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,思考下列问题：
(1)平面内两条直线的位置关系有哪些?
提示：平面内两条直线的位置关系有：相交、平行及重合.
(2)若k1=k2,直线l1,l2的位置关系如何?
提示：若k1=k2,即tanα1=tanα2,又直线倾斜角的范围是0°≤α<180°,所以α1=α2,故直线l1,l2平行或重合.
【探究提升】直线l1,l2平行的等价条件及符号表示
(1)等价条件：
①两直线不重合；
②斜率都不存在或斜率相等．
(2)符号：l1∥l2
k1=k2,
或α1=α2=90°.
【拓展延伸】用倾斜角来刻画平面上两条直线的三种关系
若考虑两条直线可能重合,则平面上两条直线的位置关系共有三种：平行、相交、重合.借助于倾斜角,它们之间的关系是：
(1)平行：倾斜角相同,没有公共点.
(2)相交：倾斜角不同,只有一个公共点.
(3)重合：倾斜角相同,有无数多个公共点.
二、两直线垂直的条件
探究1：如图,直线l1,l2满足l1⊥l2,请根据图形,探究下面的问题：
(1)斜率都存在的两条直线l1,l2,若l1⊥l2(如图(1)),则其倾斜
角有何关系?斜率有何关系?
提示：由图可知倾斜角的关系为α2=α1+90°,所以tanα2=
tan(α1+90°)
(2)当直线l1,l2中有一条直线与x轴垂直时,问题(1)中的结论还成立吗?
提示：不成立,当直线与x轴垂直时,其斜率不存在.此时一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0.
探究2：当k1·k2=-1时,l1⊥l2成立吗?
提示：成立,由k1·k2=-1,可知直线l1,l2的倾斜角α1,α2满足α2=α1+90°,故直线l1,l2垂直.
【探究提升】两条直线垂直的等价条件
(1)直线的斜率存在时,l1⊥l2则 即k1·k2=-1.
(2)k1,k2中一个不存在,一个为0⇒l1⊥l2.
(3)解决直线垂直的问题时,不要忽略斜率不存在的情况.
类型 一 直线的平行
　　尝试解答下列问题,体会寻找直线平行条件的过程,掌握
两条直线平行的等价条件及判断技巧.
1.已知直线l1与直线l2,满足下列条件：
(1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(-1,1),D(-3,5).
(2)l1的倾斜角为60°,l2经过点M( ,0),N(2 ,3).
(3)l1平行于y轴,l2经过点P(0,1),Q(0,5).
其中l1∥l2的序号是　　　　　　.
2.已知直线l1经过点A(2,a),B(a-1,3),l2经过点C(1,2),
D(-2,a+2),若l1∥l2,求a的值.
【解题指南】1.两条直线斜率相等或斜率都不存在时,两条直线平行.
2.根据题意可知两条直线的斜率相等,找到关于a的方程,从而求出a的值.
【解析】1.根据题中的条件及斜率公式得
(1) 所以直线l1与l2不平行.
(2) 所以l1∥l2或l1与l2重合.
(3)l1斜率不存在，且直线l1与y轴不重合，而l2的斜率也不存
在，且恰好是y轴，所以l1∥l2．
答案：(3)
2.直线l1的斜率
因为l1∥l2,所以
又直线l2的斜率
【技法点拨】两条直线平行的判定技巧
(1)l1∥l2⇔k1=k2的前提条件：①两条直线不重合;②斜率存在.
(2)条件中只有斜率存在,才会有l1∥l2⇔k1=k2(l1, l2不重合).
(3)条件中只有不重合,才会有l1∥l2⇔k1=k2或斜率都不存在.
【变式训练】已知△ABC中，A(0，3)，B(2，-1)，E，F分别
是AC，BC的中点，求直线EF的斜率.
【解题指南】利用三角形的中位线与第三边平行，即斜率相
等来解.
【解析】因为E，F分别是AC，BC的中点，所以EF∥AB，故
类型 二 直线的垂直
　　尝试解答下列问题,体会有关直线垂直问题求解的过程,掌握直线垂直的判定条件并总结使用斜率公式判定两直线垂直的步骤.
1.如果直线l1,l2的斜率分别是一元二次方程x2-4x-1=0的两根,那么直线l1,l2的位置关系是(　　)
A.平行　　　B.垂直　　　C.重合　　　D.以上均不正确
2.已知定点A(-1,3),B(4,2),以AB为直径作圆与x轴有交点C,求交点C的坐标.
【解题指南】1.由k1,k2是方程x2-4x-1=0的两根,得出k1与k2的关系,从而判定直线l1与l2的位置关系.
2.设出点C的坐标(x,0),根据AC⊥BC,得出关于x的方程,从而求出点C的坐标.
【解析】1.选B.由直线l1,l2的斜率k1,k2分别是一元二次方程x2-4x-1=0的两根,故k1·k2=-1,所以l1⊥l2,故选B.
2.以AB为直径的圆与x轴有交点为C，则AC⊥BC，设C点坐标为
(x,0)，则
所以
整理得x2-3x+2=0，解得x1=1或x2=2，
所以C点坐标为(1,0)或(2,0)．
【互动探究】把题2中的条件“与x轴有交点C”改为“与y轴有交点C”，求交点C的坐标．
【解析】以AB为直径的圆与y轴有交点为C，则AC⊥BC,
设C点坐标为(0,y),则

所以
整理得y2-5y+2=0，
解得
所以C点坐标为
【技法点拨】使用斜率公式判定两直线垂直的步骤
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步.
(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式.
(3)求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论.
【变式训练】已知直线l1的斜率k1= ,直线l2经过点A(3a,-2),
B(0,a2+1),且l1⊥l2,求实数a的值.
【解题指南】已知l1的斜率存在,又l1⊥l2,所以l2的斜率也存在,
设为k2,则由k1·k2=-1,可得关于a的方程,解方程即可.
【解析】设直线l2的斜率为k2，
则
因为l1⊥l2,且k1= ,所以k1·k2=-1,
所以
即a2-4a+3=0,解得a=1或a=3.
类型 三 直线平行和垂直的综合应用
　　尝试解答下列题目,体会两条直线平行与垂直之间的联系并总结如何用两直线平行或垂直的关系处理图形问题.
1.当经过点A(2m,2),B(-2,3m)的直线与过点P(1,2),Q(-6,0)的直线：
(1)平行时,m=　　　　　　.(2)垂直时,m=　　　　　　.
2.已知A(0,3),B(-1,0),C(3,0),四边形ABCD为直角梯形(A,B,C,D按逆时针方向排列),求D点的坐标.
【解题指南】1.根据平行与垂直的含义,列出求解m的方程,然后求出其值.
2.四边形ABCD为直角梯形,利用直线平行与垂直的关系,列出方程,从而解得所求点的坐标.
【解析】1.直线PQ的斜率kPQ= ，当m≠-1时，直线AB的斜率

(1)因为AB∥PQ，所以kAB=kPQ,
即 解得
(2)因为AB⊥PQ,所以kAB·kPQ=-1,
即
解得
答案：
2.设D点坐标为(x,y),由kAB=3,kBC=0,kAB·kBC=0≠-1,即AB与
BC不垂直,故AB与BC都不可作为直角梯形的垂直于底的腰.
(1)若CD是直角梯形的垂直于底的腰,
则BC⊥CD,AD⊥CD.
因为kBC=0,所以CD的斜率不存在,从而有x=3,
又因为kAD=kBC,所以 =0,即y=3,
此时AB与CD不平行,故所求点D坐标为(3,3).
(2)若AD是直角梯形的垂直于底的腰，
则AD⊥AB，AD⊥CD．
因为 又AD⊥AB,
所以 ·3=-1①，又AB∥CD， =3②．
由①②可得 此时AD与BC不平行．
综上可知点D的坐标为(3,3)或
【技法点拨】利用两条直线平行或垂直处理图形问题
(1)画点,在坐标系中描出已知点的坐标.
(2)设点找关系,根据已知条件,设出所求点的坐标,并判断图中线线之间满足的关系.
(3)列方程,根据平行与垂直的条件列出方程.
(4)求解,求出方程的解,进而得出所需结果.
提醒：在处理直线的位置关系时,要时刻考虑斜率是否存在的情况.
【变式训练】已知四边形ABCD(A,B,C,D按逆时针方向排列)为
平行四边形,且顶点A,B,C的坐标分别为(0,1),(1,0),(3,2),
求第四个顶点D的坐标.
【解析】设顶点D的坐标为(x,y),由题意可知,kAB=-1,kBC=1,
即AB⊥BC,从而AD⊥CD,AD∥BC,所以kAD·kCD=-1,且kAD=kBC,
所以 解得x=2,y=3,
即第四个顶点D的坐标为(2,3).
1.下列说法
①如果两条不重合的直线斜率相等,则它们平行;
②如果两直线平行,则它们的斜率相等;
③如果两直线的斜率之积为-1,则它们垂直;
④如果两直线垂直,则它们的斜率之积为-1.
其中正确的为(　　)
A.①②③④　　B.①③　　C.②④　　D.以上全错
【解析】选B.当两直线l1,l2的斜率k1,k2都存在且不重合时, l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1,故①③正确;当两直线都与x轴垂直时,其斜率不存在,但它们也平行,故②错;当两直线中一条直线与x轴平行(或重合),另一条直线与x轴垂直时,它们垂直,但一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在,故④错.
2.过点A(1,2)和点B(-3,2)的直线与x轴的位置关系是(　　)
A.相交　 B.平行　　 C.重合　 　D.以上都不对
【解析】选B.因为A,B两点纵坐标相等,为2,所以直线AB与x轴平行.
3.若直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为(　　)

【解析】选D.直线l1的斜率为a,且l1⊥l2,当a=0时,直线l2的斜
率不存在,当a≠0时,直线l2的斜率为 .
4.经过点M(m,3)和N(2,m)的直线与斜率为-4的直线l互相垂
直，则m的值是_________.
【解析】由题意知，直线MN的斜率存在，
因为MN⊥l，所以 解得m= .
答案：
5.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根,若
l1⊥l2,则b=　　　　　　;若l1∥l2,则b=　　　　　　.
【解析】当l1⊥l2时,k1k2=-1,
所以- =-1,
所以b=2.
当l1∥l2时,k1=k2,
所以Δ=(-3)2+4×2b=0,所以b=- .
答案：2　-
6.已知A(-4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(-3，0)四点，若顺次连接这四点，试判断四边形ABCD的形状.
【解析】由题意可知A,B,C,D四点在坐标平面内的位置,如图所示.
由斜率公式可得
所以kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合，
所以AB∥CD.由kAD≠kBC,得AD与BC不平行.
又因为
所以AB⊥AD，
故四边形ABCD为直角梯形.