§3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.2　两条直线平行与垂直的判定
填要点·记疑点
1.两条直线平行与斜率之间的关系
k1＝k2
探要点·究所然
情境导学　
为了表示直线的倾斜程度，我们引入了直线的倾斜角与斜率的概念，并推导出了斜率的坐标计算公式，即把几何问题转化为代数问题.那么，我们能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直呢？本节我们就来研究这个问题.
探究点一　两条直线平行的判定
思考1　如图，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1、k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？
答　α1与α2之间的关系为α1＝α2；
对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，
因为α1＝α2，所以tan α1＝tan α2，即k1＝k2.
当α1＝α2＝90°时，k1、k2不存在.
思考2　对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？
答　一定有l1∥l2.因为k1＝k2⇒tan α1＝tan α2⇒α1＝α2⇒l1∥l2.
小结　对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.若直线l1和l2可能重合时，我们得到k1＝k2⇔l1∥l2或l1与l2重合.
例1　已知A(2,3)，B(－4,0)，P(－3,1)，Q(－1,2)，试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.
所以直线BA∥PQ.
反思与感悟　判定两条直线的位置关系时，一定要考虑特殊情况，如两直线重合、斜率不存在等.一般情况都成立，只有一种特殊情况不成立，则该命题就是假命题.
所以直线l1与直线l2平行或重合.
平行或重合
(2)经过两点A(2,3)，B(－1，x)的直线l1与经过点P(2,0)且斜率为1的直线l2平行，则x的值为 .
0
例2　已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
因为kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以AB∥CD，BC∥DA.
因此，四边形ABCD是平行四边形.
反思与感悟　熟记斜率公式：k＝ ，该公式与两点的顺序无关，已知两点坐标(x1≠x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.
跟踪训练2　求证：顺次连接A(2，－3)，B(5，－ )，C(2,3)，D(－4,4)四点所得的四边形是梯形.
∴kAB＝kCD，从而AB∥CD.
∴kBC≠kDA，
从而直线BC与DA不平行，
∴四边形ABCD是梯形.
探究点二　两条直线垂直的判定
思考1　如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1、k2，且α1<α2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？
答　α2＝90°＋α1，因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和.
答　因为α2＝90°＋α1，所以tan α2＝tan(90°＋α1)，
即tan α2tan α1＝－1，所以k1·k2＝－1.
思考3　如果两直线的斜率存在且满足k1·k2＝－1，是否一定有l1⊥l2？如果l1⊥l2，一定有k1·k2＝－1吗？为什么？
答　当k1·k2＝－1时，一定有l1⊥l2.不妨设k2<0，
即α2为钝角，
因为k1·k2＝－1，
则有tan α2tan α1＝－1，
则α2＝90°＋α1，所以l1⊥l2.
当l1⊥l2时，不一定有k1·k2＝－1，
因为如果直线l1和l2分别平行于x、y轴，
则k2不存在，
所以k1·k2＝－1不成立.
小结　如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即k1k2＝－1⇒l1⊥l2.
例3　已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标.
解　设第四个顶点D的坐标为(x，y)，因为AD⊥CD，AD∥BC，所以kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC.
所以第四个顶点D的坐标为(2,3).
反思与感悟　在应用斜率解决与两条直线的平行或垂直有关的问题时，应考虑到斜率存在与不存在的情况，避免出现漏解.两条直线垂直与斜率之间的关系：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1或一条直线斜率为零，另一条斜率不存在.