2．3.4　平面与平面垂直的性质
要点一平面与平面垂直的性质的应用
在运用面面垂直性质定理时必须注意：(1)线在面内；(2)线垂直于两面的交线，由此才可以得出线面垂直．在应用线面平行、垂直的判定和性质定理证明有关问题时，在善于运用转化思想的同时，还应注意寻找线面平行、垂直所需的条件．
例1 如下图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
【分析】　①ABCD是边长为a的菱形；
②面PAD⊥面ABCD.
解答本题可先由面⊥面得线⊥面，再进一步得出线⊥线．
【证明】　(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.
所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.
【规律方法】　证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．
变式1　如图所示，α⊥β，CD⊂β，CD⊥AB，CE、EF⊂α，∠FEC＝90°，求证：面EFD⊥面DCE.
证明：∵α⊥β，CD⊂β，CD⊥AB，α∩β＝AB，∴CD⊥α.
又∵EF⊂α，∴CD⊥EF.
又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC.
又EC∩CD＝C，∴EF⊥面DCE.
又EF⊂面EFD，∴面EFD⊥面DCE.
例2 已知：如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
【分析】　由面面垂直向线面垂直转化，一般要作一条垂直于交线的直线，才能应用性质定理．
【证明】 (1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F，
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC.
又∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.
作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥PA.
∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.
(2)连接BE并延长交PC于H.
∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH，又AE⊥平面PBC，
故AE⊥PC，且AE∩BE＝E，
∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.
又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，且PA∩PC＝P，
∴AB⊥平面PAC，
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
【规律方法】　已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得到结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．证明(2)题的关键是要灵活利用(1)题的结论．
变式2　如图，已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b.求证：α∥β.
证明：如图，在平面α内作直线PQ⊥a，在平面β内作直线MN⊥b，垂足分别为Q、N.
∵α⊥γ，α∩γ＝a，∴PQ⊥γ.
同理MN⊥γ.∴PQ∥MN.
∵PQ⊄β，MN⊂β，
∴PQ∥β.
同理a∥β.∵PQ⊂α，a⊂α，PQ∩a＝Q，
∴α∥β.
要点二线线、线面、面面垂直的综合应用
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．求证：
(1)EN∥平面PDC；
(2)BC⊥平面PEB；
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
【分析】　(1)利用线面平行的判定定理证明，证EN∥DM.
(2)先证AD⊥平面PEB，再由AD∥BC证明．
(3)转化为证明PB⊥平面ADMN.
【证明】　(1)∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，
∴AD∥平面PBC.
又平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.
又∵BC∥AD，∴MN∥BC.
又N是PB的中点，∴点M为PC的中点．
(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，
∴BE⊥AD.
又∵侧面PAD是正三角形，且E为中点，
∴PE⊥AD，
∴AD⊥平面PBE.又∵AD∥BC，
∴BC⊥平面PEB.
(3)由(2)知AD⊥平面PBE.
又PB⊂平面PBE，∴AD⊥PB.
又∵PA＝AB，N为PB的中点，∴AN⊥PB.
且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN.
又∵PB⊂平面PBC.∴平面PBC⊥平面ADMN.
【规律方法】　运用平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．
变式3　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
证明：(1)设G为AD的中点，连接PG，
∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD.
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
G为AD的中点，∴BG⊥AD.
又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.
∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.
(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
取PC的中点F，连接DE、EF、DF，
在△PBC中，FE∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，
而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E.
∴平面DEF∥平面PGB.
由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，
∴平面PGB⊥平面ABCD，
∴平面DEF⊥平面ABCD.