(二)点、直线、平面之间的位置关系
2.3.2平面与平面垂直的判定
教学目标:
结束
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1.通过实例直观感知“二面角”概念的形成过程，理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；
2.类比已学知识,归纳“二面角”的度量方法，掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角;
3.通过实例直观感知“两个平面互相垂直”，掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.
4.通过实例直观感知，类比已学知识，提高观察、分析、解决问题的能力．
问题1:在显示生活及生产实践中,有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形,你能举出
这个问题的一些例子吗?
问题探究点一　二面角的概念
答:
修筑水坝时,为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与水平面成适当的角度;
地球轨道面(黄道平面)与赤道平面成一定的角度等等.
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l
l
(1)半平面:
平面的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做一个半平面.
(2)二面角:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
这条直线叫做二面角的棱,
每个半平面叫做二面角的面.
二面角及二面角的平面角的有关定义
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B


(3)二面角的记法:
如图(1)的二面角记作:
如图(2)的二面角记作:
如图(3)的二面角记作:
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(2)
(3)
(1)
二面角 -AB- .
二面角C-AB-D.
二面角 -l- .
A
在二面角的棱上任取一点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
二面角的大小就是用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.
(4)二面角的平面角:
(5)二面角的度量:
(6)二面角的范围:
[00,1800]
(7)直二面角:
平面角为直角的二面角叫做直二面角.
α
β
a
A
b
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定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
(8)面面垂直的定义:
(9)两个互相垂直的平面的画法:
平面α与平面β垂直,
记作α⊥β.
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此时,把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.
两个互相垂直的平面通常画成如图中的两种样子,
问题2:如何检测所砌的墙面和地面是否垂直?
问题探究点二　两个平面垂直的判定
面面垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
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符号表示:
图形表示:
线面垂直⇒面面垂直.
注:该定理可以简记为:
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面面垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
4.若平面 内有一条直线垂直于平面 内的两条相交直线,则一定有
3.若平面 内有一条直线垂直于平面 内无数条直线,则一定有
5.若平面 与 不垂直,则平面 内所有直线与 都不垂直.
1.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系.
例1.判断下列命题是否正确:
×
2.教室相邻的两个墙面构成的二面角的大小为900.
×
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1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线,则α⊥β.
3.若m⊥α,m β,则α⊥β.
∪
2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线,则α⊥β.
1.过平面α的一条垂线可作_____个平面与平面α垂直.
2.过一点可作_____个平面与已知平面垂直.
练习1(2)填空题：
无数
无数
练习1(1)判断下列命题是否正确:
×
×
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B
解析:
∵DO=OB=BD= ,
∴∠BOD=600.
O
取AC中点O,
连接BO,DO,
由二面角的定义易知∠BOD即为二面角的平面角,
450
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例2.在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=600,把菱形沿对角线AC折起,使折起后BD= ,
则二面角B-AC-D的余弦值为 ( )
练习2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则二面角D1-AB-C的值为 .
例3.正方体ABCD-A1B1C1D1中
求证:平面AA1C1C⊥平面A1BD.
证明:
∵AA1⊥平面ABCD,
又∵BD 平面ABCD,
∴AA1⊥BD.
又∵BD⊥AC,
且AC∩AA1=A,
∴BD⊥平面AA1 C1C.
∵BD 平面A1BD,
∴平面AA1C1C⊥平面A1BD.
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证明:(1)
∴EF是△ABD的中位线,
∴EF∥AD,
∵EF 面ACD,
AD 面ACD,
∴EF∥面ACD.
(2)∵AD⊥BD,EF∥AD,
∴EF⊥BD.
∵CB=CD,F是BD的中点,
∴CF⊥BD.
又EF∩CF=F,
∴BD⊥面EFC.
∵BD 面BCD,
∴面EFC⊥面BCD.
∵E,F分别是AB,BD的中点,
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练习3(1)如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,且E、F分别是AB、BD的中点．
求证:(1)EF∥面ACD;(2)面EFC⊥面BCD.
证明:
练习3(2)如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面于A,C是圆O上不同于A,B的任意一点,
求证:平面PAC⊥平面PBC.
∵PA⊥平面ABC,
BC 平面ABC,
AB是圆O的直径,
∵点C是圆O上不同于A,B的任意一点,
又∵PA 平面PAC,
AC 平面PAC,
∴BC⊥平面PAC.
又∵BC 平面PBC,
∴平面PAC⊥平面PBC.
结束
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3.你能找到二面角P-BC-A的一个平面角吗?
探究:
练习3(3)如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面于A,C是圆O上不同于A,B的任意一点,
1.你还能发现哪些面互相垂直?
面PAB⊥面ABC.
面PAC ⊥面ABC;
都是直角三角形.
∠PCA
2.三棱锥P-ABC的四个面的形状是怎样的?
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再见