2．3.2　平面与平面垂直的判定
第二章　点、直线、平面之间的位置关系
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考点：
1、用面面垂直的判定定理证明面面垂直
一般高考放在大题的第二问
2、求二面角的大小（高考必考，占5分，放在 大题第三问）
本节课知识点两个
1、求二面角的大小
2、面面垂直的判定
1．二面角的有关概念
(1)半平面的定义：平面内的一条直线把这个平面分成______部分，其中的每一部分都叫做半平面．
(2)二面角的定义：从一条直线出发的两个_________所组成的______叫做二面角(如图(1))．
其中的直线叫做二面角的______，这两个半平面叫做二面角的______．
两
半平面
图形
棱
面
(3)二面角的记法：棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角___________.有时为了方便，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－AB－Q.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α－l－β或二面角P－l－Q(如图(2)所示)．
α－AB－β
(4)二面角的平面角：(如图(3)所示)在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作_______于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
(5)直二面角：平面角是_______的二面角叫做直二面角．
垂直
直角
想一想 1.二面角的平面角与棱上的点的位置有关吗？
提示：无关．只与二面角的大小有关．
做一做 1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角D1－AB－D的平面角的大小是________．
答案：45°
2．两个平面垂直
(1)两个平面互相垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)表示法：两个互相垂直的平面通常画成如下图(1)(2)所示的样子，此时把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．
平面α与β垂直，记为α⊥β.
(3)两个平面互相垂直的判定定理
①文字语言：一个平面过另一个平面的_______，则这两个平面垂直．
②符号语言：a⊥α，a⊂β⇒α⊥β.
垂线
想一想
2.过平面α的一条垂线能作多少个平面与平面α垂直？
提示：无数个．
做一做
2. 在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如图所示，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．
解析：平面PAB⊥平面PAC、平面PAB⊥平面PBC、平面PAC⊥平面PBC.
答案：3
题型一　二面角及其平面角的理解
下列说法：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角，其中正确的是(　　)
A．①③ B．②
C．③ D．①②
【题型探究】
跟踪训练
1．自二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有条件(　　)
A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β
解析：选D.根据二面角的相关概念进行分析判断．在棱的同一点分别在两个半平面作棱的垂线．
如图所示，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.
题型二　面面垂直的判定与证明
【证明】　法一：(利用定义证明)
∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
∴△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，
令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．
 取BC的中点D，如图所示，
互动探究
2．在本例中，若SA＝SB＝SC＝2，其他条件不变，如何求三棱锥S－ABC的体积呢？
如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.求二面角B－PC－D的大小．
题型三　求二面角的大小
【解】　作BE⊥PC于E，连接DE，如图，则由△PBC≌△PDC，知∠BPE＝∠DPE，
从而△PBE≌△PDE.
∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE. 
∴∠BED为二面角B－PC－D的平面角．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC.
跟踪训练
如图所示，已知三棱锥P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求二面角D－AP－C的正弦值；
(3)若M为PB的中点，
求三棱锥M－BCD的体积．
名师解题 线面垂直的综合应用
跟踪训练