2.3.2 平面与平面垂直的判定
平面与平面垂直
问题：直线与直线，直线与平面可以垂直，平面与平面是否存在垂直关系？如何认识两个平面垂直？我们从理论上作些探讨.
思考1:空间两条直线垂直是怎样定义的？直线与平面垂直是怎样定义的？
思考2:两个相交平面相交形成多少个二面角？什么叫直二面角？
如果两个相交平面所成的四个二面角中，有一个是直二面角，那么其他三个二面角的大小如何？
两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直.
思考3:在你的周围或空间几何体中，有哪些
实例反映出两个平面垂直？
思考4:在图形上，符号上怎样表示两个平面互相垂直？
思考3、两个平面互相垂直
观察:
教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角及其度数.
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
两个平面互相垂直通过画成：直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。平面α与β垂直，记作：α⊥β。
两个平面互相垂直的画法及其表示:
思考5:如果平面α⊥平面β，那么平面α内的任一条直线都与平面β垂直吗？
思考1:根据定义判断两个平面是否
垂直需要解决什么问题？
思考3：在二面角α-l-β中，直线m在平面β内，如果BO⊥α，那么二面角α-l-β是直二面角吗？
O
思考4:根据上述分析，可以得到两个平面互相垂直的判定定理，用文字语言如何表述这个定理？
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直.
思考4、两个平面垂直的判定
判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有下面的判定定理．
两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
注：这个定理简称
“线面垂直，则面面垂直”
下面我们来证明这个定理
求证：α⊥β．
证明：设a∩β=CD，则B∈CD．
∴AB⊥CD．
在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．
∴α⊥β．
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
α
β
C
D
A
B
两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
注：这个定理简称
“线面垂直，则面面垂直”
结合图形，两个平面垂直的判定定理用符号
语言怎样表述？
思考6:过一点P可以作多少个平面与平面α垂直？过一条直线l可以作多少个平面与平面α垂直？
应用举例，强化所学
例1：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周一不同于A，B的任意一点，(1)求证：平面PAC⊥平面PBC
探究：你还能发现哪些面互相垂直？
(2)若AE⊥PC，E为垂足，
F为PB上任一点，
求证：平面AEF⊥平面PBC
例3 在四面体ABCD中，已知AC⊥BD， ∠ BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°，
求证：平面ABC⊥平面ACD.
某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD
对角线的交点，G是PB的中点
2
1、根据三视图，画出该几何体的直观图
2、在直观图中，①证明：PD∥平面AGC；
②证明：平面PBD⊥平面AGC
P
P
P
A
B
A
A
D
B
D
C
G
3
例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点，求证：平面PMC⊥平面PCD.
课堂诊断:
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（ ）
2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内 的两条直线，则α⊥β.（ ）
3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条 相交直线, 则α⊥β.（ ）
4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( )
×
×
√
√
5.二面角指的是（　 ）
A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。
B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。
C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。
D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。
B
附:角与二面角之间的关系

角
图形
构成
表示法
•
O
顶点
边
边
A
B
二面角
从平面内一点出发的两条射线所组成的图形.
从空间一条直线出
发的两个半平面所
组成的图形.
定义
射线
点
射线
半平面—
棱
—半平面
AOB
二面角
-
a
-
-
AB
-
a


棱
面
面
A
B
运用反馈，深化巩固
1.指导完成课本P.69的探究问题
2.指导完成课本P.69的练习
小结归纳，整体认识
1.比较角与二面角之间的关系
2.二面角的度量；
3.两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？
想一想:怎样求二面角?
课后作业：P.73习题2.3 A组1,2,3,4.
特别注意：两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．如：建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直，实际上，就是依据这个原理．另外，这个定理说明要证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明．
应用举例，强化所学
例1：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周一不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC
证明：设⊙O所在平面为α，
由已知条件，有
PA⊥α，BC在α内，
所以，PA⊥BC，
因为，点C是不同于A，B的任意
一点，AB为⊙O的直径，
所以，∠BCA＝90°，即BC⊥CA
又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，
所以，BC⊥平面PAC，
又因为BC在平面PBC内，
所以，平面PAC⊥平面PBC。
探究：你还能发现哪些面互相垂直？