2.3.2 平面与平面垂直的判定定理
1.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a' //a， b'// b，我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角.
2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
范围：( 0o, 90o ]．
范围：[ 0o, 90o ]．
复习引入
空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识.
在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来，我们同样来研究平面与平面的角度问题.
两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．
在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角．如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度.
(1) 半平面的定义
1.二面角的概念
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
半平面
半平面
(2) 二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．
棱
面
面
①平卧式：
②直立式：
(3) 二面角的画法和记法：
1.二面角的概念
面1－棱－面2
点1－棱－点2
二面角－ l－ 
二面角－AB－
二面角C－AB－ D


A
O
l
B
(4) 二面角的平面角
A'
B'
O'
1.二面角的概念
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
二面角的平面角必须满足：
③角的边都要垂直于二面角的棱
①角的顶点在棱上
②角的两边分别在两个面内
A
B
[0。，180。]
(4) 二面角的平面角
1.二面角的概念
二面角的范围为：
注1：①当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°；
②平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两个平面互相垂直.
①定义法
②垂线法

③作棱的垂面法
一个平面垂直于二面角 -l- 的棱 l，且与两半平面的交线分别是射线 OA、OB，O 为垂足，则∠AOB 为二面角 -l- 的平面角．
(5) 二面角的平面角的作法：
1.二面角的概念
A
B
补充
例 正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角B1-AA1-C1的大小为_____，二面角B-AA1-D的大小为______，二面角C1-BD-C的正切值是_______.
45°
90°
练习
练 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB = 2，BC = BB1 =1 ，E为D1C1的中点，求二面角E－BD－C的大小．
思路分析：
①找基面
平面BCD
②作基面的垂线
过E作EF⊥CD于F
F
③作平面角
作FG⊥BD于G，连结EG
G
解：过E作EF⊥CD于F，
于是，∠EGF为二面角E－BD－C的平面角．
∵BC = 1，CD = 2，
∵ ABCD－A1B1C1D1是长方体， ∴EF⊥平面BCD，且F为CD中点，
过F作FG⊥BD于G，连结EG，则EG⊥BD．（三垂线定理）
∴
M
练习
例 如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的高AD折成直二面角.
C
D
H
G
600
300
例 如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?
A
B
练习
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
思考
2.平面与平面垂直的判定
(1) 定义法：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作
(2) 面面垂直的判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
②该定理作用：“线面垂直面面垂直”
注2：①
③应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.
练 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
(1)求证：平面A1C⊥平面B1D
A
C
D
A1
C1
D1
E
F
Ｂ
B1
(2)E、F分别是AB、BC的中点， 求证：平面A1C1FE⊥平面B1D
(3)G是BB1的中点，
求证：平面A1C1G⊥平面B1D

总结:
直线A1C1 ⊥平面B1D，则过直线A1C1 的平面都垂直于平面B1D
练习
证明：由AB是圆O的直径，可得AC⊥BC
例 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点.
求证：平面PAC⊥平面PBC
练习
P
A
B
C
外
垂
中
练习：P79 B组2(2)
E
F
分析
E
F
或者考虑二面角定义法
G
E
G
E
练习
二、平面与平面垂直
(1)定义：两平面所成二面角为直二面角
(2)判定定理：
(3)性质定理：
一、直线与平面垂直
(1)定义：
(2)判定定理：
(3)线线垂直的常用证明方法：
a.平面内的两直线——
b.空间内的两直线——
(4)两条平行线垂直于同一个平面，垂直于同一一个面的两直线平行.
三、角度问题
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a'、b'，并使a'//a，b'//b，我们把直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得.
2.方法：
3.步骤：
b.求直线与平面所成的角：
a.求异面直线所成的角：
c.求二面角的大小：
①作（找）
② 证
③ 点
④ 算
1.数学思想：
定义法或者垂线法
即找面的垂线，找出垂足
找平行线方法：中位线，平行四边形，线段成比例，线面平行的性质定理等
O
A
B
O
P
A
B
back
back
练 如图，在三棱锥P-ABC中，AC＝BC=2，PA=PB=AB，∠ACB＝90o，PC⊥AC.
(1)求证：PC⊥ AB；(2)求二面角B—AP—C的大小.
练2 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2， BC=BB1=1， E为C1D1的中点，求二面角 E-BD-C的大小.
A
A1
B
B1
C
C1
D
D1
E
M
F
back
在正方体AC1中，E，F分别是中点，求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小.
E
F
back
练1 如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB的中点，求二面角A1－MC－A的正切值．
N
H
思路分析：
①找基面
②找基面的垂线
AA1
③作平面角
作AH⊥CM交CM的延长线于H，连结A1H
平面ABCD
解：作AH⊥CM交CM的延长线于H，连
结A1H．∵A1A⊥平面AC，AH是A1H
在平面AC内的射影，∴A1H⊥CM，
∴∠A1HA为二面角A1－CM－A的平面角．
设正方体的棱长为1．∵M是AB的中点，且AM∥CD，则在
直角△AMN中，AM = 0.5，AN= 1，MN = ．
back
如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.
(1)求四棱锥S-ABCD的体积；
(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.
(2)提示：因所求二面角无“棱”，故先延长BA、CD以确定棱SE，然后证明∠BSC为平面角.
back
A .
O
解：
则AD⊥ l .
∵sin∠ADO=
∴ ∠ADO=60°.
即二面角 － l－  的大小为60 °.
在Rt△ADO中，
AO
AD
练 已知二面角－ l －  ，A为面内一点，A到 的距离为 ，到l的距离为 4. 求二面角 － l －  的大小.
D
过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD，
就是二面角－ l － 的平面角.
back
练 在二面角α-l-β的一个平面α内有一条直线AB，它与棱 l 所成的角为45°，与平面β所成的角为30°，则这个二面角的大小是________________.
45°或135°
证明：
α
β
C
D
A
B
在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则∠ABE就是二面角α-CD-β的平面角，
设α∩β=CD，则B∈CD.
a
back
练习
1.过平面α的一条垂线可作_____个平面与平面α垂直.
2.过一点可作_____个平面与已知平面垂直.
3.过平面α的一条斜线，可作____个平面与平面α垂直.
4.过平面α的一条平行线可作____个平面与α垂直.
一
无数
无数
一
back
back
E
F
back
思路分析：
①找基面
②找基面的垂线
③作平面角
平面ABC
取AB的中点M，连结PM．
M
由己知AB2 = AC2 + BC2，∴∠ACB是直角．
N
取AC的中点N，连结MN、PN．
∵MN∥BC，AC⊥BC，∴MN⊥AC，由三垂线定理知PN⊥AC．
∴∠MNP就是二面角P—AC—B的平面角
∵PA = PB = PC，∴△PAM≌△PCM．
∵PM⊥AM，∴PM⊥CM，
∴PM⊥平面ABC
连结CM，∴AM = BM = CM，
已知△ABC, AB = 10, BC = 6, P是平面ABC 外一点,且PA=PB = PC = AC = 8, 求二面角P—AC—B的平面角的正切值.
back
练 求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小？
练 如图，过点S作三条不共面的直线，使∠BSC=900，∠ASB= ∠ASC=600，截取SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面BSC
S
C
B
A
D
利用定义，通过计算证之
请计算AC与平面BSC所成的角的大小
back
如图所示， △ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M为EA的中点. (1)求证:DE=DA(2)求证:平面BDM⊥平面ECA(3)求证:平面DEA⊥平面ECA
A
B
C
E
D
M
N
F
请作出平面EAD和平面BAC所成的二面角的平面角
back