2.3.2《平面与平面垂直的判定》
1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.
2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角:
3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直。
教学目标
创设情景，揭示课题
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？
这样的角有何特点，该如何表示呢？
一、 二面角及二面角的平面角
平面的一条直线把平面分为两部分，
其中的每一部分都叫做一个半平面。
1 、半平面——
棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α－AB－β。有时为了方便，也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－AB－Q。如果棱记作L，那么这个二面角记作二面角α―L―β或P―L―Q。
1、二面角的有关概念及其记法与表示
研探新知
L
研探新知
2、二面角的有关概念及其记法与表示
观察思考:展示一张纸面，并对折让学生观察其形状，然后引导学生将它与角进行类比，归纳出二面角的概念及记法与表示.
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角。
这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

3、二面角的度量
提出问题:二面角的大小反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二面角的大小呢？
师生活动：在预先准备好的二面角的模型的棱上取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线，通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
在二面角α―L―β的棱L上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱L的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。
注：
二面角的平面角的特点：
3）角的边都要垂直于二面角的棱
1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个半平面内
10
(1)
(2)
注：
二面角的平面角的特点：
3）角的边都要垂直于二面角的棱
1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个半平面内
10


A
O
B
(1)
(2)
2、二面角的平面角的作法：
1、定义法：
根据定义作出来。
2、作垂面：
作与棱垂直的平面与两半平面
的交线得到。
注意：二面角的平面角必须满足：
（1）、角的顶点在棱上。
（2）、角的两边分别在两个面内。
（3）、角的边都要垂直于二面角的棱。
o
二面角的 平面角的定义、范围及作法

角
从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。
定义
构成
边—点—边
（顶点）
表示法
∠AOB
图形
角与二面角的比较
∠ A`P`B` 与∠ APB是否相等?
思考:
相等(利用等角定理)
约定：二面角的平面角取值范围是: [ 00,1800]
二面角的大小用它的平面角的大小来度量.
（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L” ，“OB⊥L”；
（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关
（3）二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，平面角是直角时叫直二面角。
（4）二面角的平面角的范围是:
注意:
平面与平面垂直
定义：如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，
那么我们称这两个平面互相垂直。
3、两个平面互相垂直
观察:
教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角及其度数.
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
两个平面互相垂直通过画成：直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。平面α与β垂直，记作：α⊥β。
两个平面互相垂直的画法及其表示:
4、两个平面垂直的判定
判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有下面的判定定理．
两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
注：这个定理简称
“线面垂直，则面面垂直”
下面我们来证明这个定理
求证：α⊥β．
证明：设a∩β=CD，则B∈CD．
∴AB⊥CD．
在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．
∴α⊥β．
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
α
β
C
D
A
B
已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC，
问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相垂直？
思考题？
1.平面SAD⊥平面ABCD
2.平面SBD⊥平面ABCD
3.平面SCD⊥平面ABCD
4.平面SAD⊥平面SCD
5.平面SBC⊥平面SCD
6.平面SAB⊥平面SAD
7.平面SAC⊥平面SBD
课堂诊断:
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（ ）
2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内 的两条直线，则α⊥β.（ ）
3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条 相交直线, 则α⊥β.（ ）
4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( )
×
×
√
√
5.二面角指的是（　 ）
A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。
B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。
C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。
D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。
B
应用举例，强化所学
例1：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周一不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC
证明：设⊙O所在平面为α，
由已知条件，有
PA⊥α，BC在α内，
所以，PA⊥BC，
因为，点C是不同于A，B的任意
一点，AB为⊙O的直径，
所以，∠BCA＝90°，即BC⊥CA
又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，
所以，BC⊥平面PAC，
又因为BC在平面PBC内，
所以，平面PAC⊥平面PBC。
探究：你还能发现哪些面互相垂直？
证明：
（面面垂直的性质定理）
例2：求证三个两两垂直的平面的交线两两垂直 .
例3. 如图，立体图形P-ABCD的侧面PAD是正三角形且垂直于底面，
底面ABCD是矩形，E是PD的中点.
（1）求证：平面ACE⊥平面PCD；
（2）若PB⊥AC,求PB与底面AC所成的角.
解：
（1）∵ △PAD是正三角形，
∴ AE⊥PD .
又平面PAD⊥平面ABCD ,
且ABCD是矩形,
CD⊥AD ,
∴ CD⊥AE .
∴ AE⊥平面PCD.
∴ 平面ACE⊥平面PCD .
E为PD的中点，
∴ CD⊥平面PAD.
（面面垂直的性质定理）
（面面垂直的判定定理）
A
B
C
D
P
E
（2）设AD的中点为O，
连 PO、BO，
则 PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面AC ,
∴ PO⊥平面AC ,
∴ ∠PBO就是PB与底面AC所成的角.
设 AO = a，
AC与OB的交点为F，
则 FB = 2OF
∵ PB⊥AC ,
由三垂线定理得：
AF⊥OB.
∴ ∠PBO = 45°
故 PB与底面AC所成的角为45°.
A
B
C
D
P
E
O
F
要点一 定义法判定平面与平面垂直
利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：(1)找出两个相交平面的平面角；(2)证明这个平面角是直角；(3)根据定义，这两个平面互相垂直．
【证明】∵AB＝AD＝CB＝CD＝a，
∴△ABD与△BCD是等腰三角形，
∴取BD的中点E，连结AE、CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.
∴∠AEC为二面角A－BD－C的平面角．
AC＝a，
∴AC2＝AE2＋CE2，
∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，
即二面角A－BD－C的平面角为90°.
∴平面ABD⊥平面BCD.
【规律方法】　利用定义证两平面垂直的基本思路是作出二面角的平面角，计算二面角的平面角为90°.此法较适合由等腰或等边三角形构成的几何体．
变式1　如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA，SB，SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.
求证：平面ABC⊥平面BSC.
证明：取BC的中点D，由SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，
可得AB＝AC＝SA；连接SD，AD，
则AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS是二面角A－BC－S的平面角，
要点二 面面垂直的判定定理的应用
利用面面垂直的判定定理．具体作法是在其中一个平面内寻找与另一个平面垂直的直线．
例2 如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：
(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA.
【分析】　由题目可获取以下主要信息：
①EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC；
②△ABC是等边三角形，CE＝CA＝2BD，ME＝MA.
解答本题(1)，只要证明三角形全等，(2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，证明平面ECA的垂线在BDM内，(3)与(2)类似．
【证明】　(1)如图所示，取EC的中点F，连接DF.
【规律方法】　证明平面与平面垂直的方法有两个：
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角；
(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．
变式2 (2010年高考课标全国卷)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．
解：(1)证明：因为PH是四棱锥P－ABCD的高，所以AC⊥PH.
又AC⊥BD，PH、BD都在平面PBD内，且PH∩BD＝H，
所以AC⊥平面PBD.
又AC⊂平面PAC，故平面PAC⊥平面PBD.
要点三 简单的二面角的求法
求二面角的大小关键是作出二面角，作二面角的平面角的方法．
法一：(定义法)在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．
如图①，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．
法二：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．
法三：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．
如图③，∠ABO为二面角α－l－β的平面角．
(2)证明：由(1)知，PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，
∴AC⊥平面PDB.
同时，AC⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD.
(3)由(1)知PD⊥BC，
又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC，
∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．
在直角△PCD中，PD＝CD＝a，
∴∠PCD＝45°.
∴二面角P－BC－D的平面角为45°.
【规律方法】　立体几何的计算并非单纯的数字计算，而是与作图和证明相结合的．立体几何计算题的主要步骤可以归纳为画—证—算三步．“画”是画图，添加必要的辅助线，或画出所要求的几何量，或进行必要的转化；“证”是证明，用三段论的方法证明你所画的几何量即为所求，然后进行最后一步计算．
解：(1)证明：∠SAB＝∠SAC＝90°，∴SA⊥AC，SA⊥AB.
又AB∩AC＝A，∴SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.
又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.
又SA∩AC＝A，∴BC⊥平面SAC，∴SC⊥BC.
解：(1)证明：∠SAB＝∠SAC＝90°，∴SA⊥AC，SA⊥AB.
又AB∩AC＝A，∴SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.
又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.
又SA∩AC＝A，∴BC⊥平面SAC，∴SC⊥BC.
课后作业
：P73习题2.3A组，1,2,3,4