2．2.4　平面与平面平行的性质
第二章　点、直线、平面之间的位置关系
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学习目标
重点难点
重点：对面面平行性质定理的理解．
难点：空间平行关系的相互转化．
平面与平面平行的性质定理
(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面______，那么它们的交线______．

(3)图形语言：
相交
平行
∥
∥
想一想两个平面平行，那么，两个平面内的所有直线都相互平行吗？
提示：不一定．它们可能异面．
做一做 1.若α∥β，a⊂α，b⊂β，下列几种说法中正确的是(　　)
①a∥b；
②a与β内无数条直线平行；
③a与β内的任何一条直线都不垂直；
④a∥β.
A．①② B．②④
C．②③ D．①③④
解析：选B.②④正确．
2．若平面γ∩β＝a，γ∩α＝b(三平面不相交于一条直线)，则a，b的位置关系是________．
答案：平行或相交
题型一　面面平行的性质定理的理解
下列说法不正确的是(　　)
A．两个平面α∥β，直线a∥α，则a∥β
B．两个平面α∥β，则α内任意一条直线都平行于β
C．一个三角形有两条边所在直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行
D．分别在两个平行平面内的直线只能是平行或异面
【题型探究】
【解析】　对于A，可能a∥β，或a⊂β，故A不正确；对于B，依据面面平行性质可知B是正确的；对于C，由于三角形的两边所在直线相交，所以据面面平行判定定理可知是正确的；对于D，由面面平行及直线位置关系定义可知也是正确的，故选A.
【答案】　A
【名师点评】　平行关系的本质在于两几何图形间无公共点，抓住此点，平行关系的辨析则可应付自如．
跟踪训练
1．已知a，b表示直线，α、β、γ表示平面，下列推理正确的是(　　)
A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b
B．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥β
C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
解析：选D.A中α∩β＝a，b⊂α，则a，b可能平行也可能相交；B中α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或β内；C中a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，根据面面平行的判定定理，需再加上条件a∩b＝A，才能得出α∥β.D为面面平行性质定理的符号语言．
如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长．
题型二　由面面平行证线线平行
互动探究
2．在本例中，若P在α与β之间，在第(2)问条件下求CD的长．
如图，正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E在AB′上，点F在BD上，且B′E＝BF.求证：EF∥平面BB′C′C.
【证明】　法一：作FH∥AD交AB于H，连接HE.如图所示．∵AD∥BC，∴FH∥BC.
又FH⊄平面BB′C′C，BC⊂平面BB′C′C，
∴FH∥平面BB′C′C.
题型三　由面面平行证线面平行
【名师点评】　法一利用了面∥面的性质：找过EF的平面与BB′C′C平行．法二利用了线面平行的判定定理：在平面BB′C′C中找到与EF平行的线B′M.
跟踪训练
3．如图所示，AB与CD是夹在两个平行平面α与β之间的线段，且直线AB与CD是异面直线，M与P分别为线段AB与CD的中点．求证：直线MP∥平面β.
1．证明线面平行的方法(1)应用线面平行的定义；
(2)应用线面平行的判定定理；(3)应用面面平行的性质定理，即“两个平面平行时，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．”
2．三种平行关系间的转化
线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行任意转化，相互间的转化关系如下：
【方法感悟】
因此要判定某一平行关系的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程，在证明问题时要切实把握这一点，灵活地确定转化思路和方向．
3．常用的面面平行的几个性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
已知α∥β，AB，CD是夹在α与β间的两条线段，点E，F分别在AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD＝m∶n，求证：EF∥α，EF∥β.
【常见错误】　容易利用图(1)或图(2)中的特殊图形代替一般证明，对AB与CD异面这种更一般的情形缺乏分析，由此产生特殊代替一般的证明错误．
易错警示 以特殊代替一般，以偏概全致误
【证明】　当AB，CD共面时，如图(1)、图(2)所示，根据平行线分线段成比例定理，知EF∥AC，EF∥BD，立即推出EF∥α，EF∥β；当AB，CD异面时，如图(3)所示，过点A作AG∥CD交平面β于点G，连接DG，过点F作FH∥AC交AG于点H，连接HE.由α∥β，知AC∥GD，则HF∥GD，所以HF∥β；由于AC∥HF∥GD，故CF∶FD＝AH∶HG＝m∶n＝AE∶EB，则EH∥BG，所以EH∥β.综上，可知平面EFH∥平面β，又α∥β，故平面EFH∥平面α.由于EF⊂平面EFH，故EF∥α，EF∥β.
【失误防范】　在立体几何中当已知两条直线时，要充分考虑到这两条直线的各种位置关系，不要只考虑两条直线共面的情况，还要把它们异面的情况考虑进去．由于空间图形位置关系的多样性，就导致了部分考生仅仅凭借这种多样位置关系的一种解决问题的情况，导致解答不全．