2.2.4
平面与平面平行的性质定理
复习1：平面和平面的位置关系
1、平面和平面有哪几种位置关系？
复习2：面面平行的判定定理
定理中的线与线、线与面应直线和平面平行的判定定理是:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.(线线平行，线面平行)
具备的条件是:一线在平面外,一线在平面内;两直线互相平行。

平面和平面平行的判定定理是：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（线不在多，重在相交）
定理中的线与线、线与面应具备的条件是:两条直线必须相交,且两条直线都平行于另一个平面。
线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
思考
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，交线具有什么位置关系？
简述：面面平行→线线平行
α∥β，α∩γ＝a,β∩γ=b，a∥b
如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a,β∩γ=b，求证：a∥b
证明：∵α∩γ＝a,β∩γ=b
∴aÌα，bÌβ
∵α∥β
∴a，b没有公共点，
又因为a，b同在平面γ内，
所以，a∥b
平面与平面平行的性质定理
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号语言:
1、若两个平面互相平行，则其中一个平面
中的直线必平行于另一个平面；
2、平行于同一平面的两平面平行；
3、过平面外一点有且只有一个平面与这个
平面平行；
4、夹在两平行平面间的平行线段相等。
几个重要结论
1．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，过点B的所有直线中(　　)
A．不一定存在与a平行的直线
B．存在无数条与a平行的直线
C．只有两条与a平行的直线
D．有且只有一条与a平行的直线
解析：由直线a和点B可以确定一个平面γ，γ∩β＝b，则b就是唯一的一条满足条件的直线．故选D.
答案：　D
D
2．下列命题正确的是(　　)
A．夹在两个平行平面间的线段长相等
B．平行于同一平面的两条直线平行
C．一条直线上有两点到一个平面的距离相
等，则这条直线与这个平面平行
D．过平面外一点有无数条直线与已知平面平行
解析：对于A，必须是平行线段才相等，所以A错；B错；对于C，直线与平面可能平行，也可能相交；对于D，过一点可作无数条直线与已知平面平行．
答案：　D
D
3．夹在两个平面间的三条线段，它们平行且相等，则两平面的位置关系为________．
解析：　平行或相交，如图
答案：　平行或相交
例1、求证：夹在两个平行平面间的两条平行线段相等
基本步骤:首先是画出图形,再结合图形将文字语言转化为符号语言,最后分析并书写出证明过程。
证明:
∵AB//CD,
∴ 过AB,CD可作平面γ,
且平面γ与平面α和β分别相交于AD和BC.
∵ α//β,所以  AD//BC.
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∴  AB=CD.
已知：如图，AB∥CD， A∈α ，D∈α， B∈β ,C∈β，求证:AB=CD
1. 若∥，∥，求证: ∥ .
练习
a
b



b'
a'
an
bn


例2. 如图所示，矩形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在四边形A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行．求证：四边形A′B′C′D′是平行四边形．
证明：　
∵BB′∥CC′，
又∵CC′⊂平面CC′D′D，BB′⊄平面CC′D′D，
∴BB′∥平面CC′D′D.
又ABCD是矩形，∴AB∥CD，
∵CD⊂平面CC′D′D，
∴AB∥平面CC′D′D，
∵AB，BB′是平面ABB′A′内的两条相交直线，
∴平面ABB′A′∥平面CC′D′D.
又α∩平面ABB′A′＝A′B′，α∩平面CC′D′D＝C′D′，
∴A′B′∥C′D′.
同理，B′C′∥A′D′，
∴A′B′C′D′是平行四边形．
例3.在四棱锥P－ABCD中，ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点．求证：MN∥平面PAD.
证明：　
如图，取CD的中点E，连接NE、ME，
∵M、N分别是AB、PC的中点，
∴NE∥PD，ME∥AD
∴NE∥平面PAD，ME∥平面PAD
又NE∩ME＝E，
∴平面MNE∥平面PAD，
又MN⊂平面MNE，
∴MN∥平面PAD.
例4、已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD
外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，
画出过G和AP的平面。
例5、 如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D 是α上的点 ，线段AB、AC、AD交于E、F、G点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.
1.如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，
PC＝3 cm，求PD的长．
(3)若点P在α与β之间，试在(2)的条件下求CD的长．
2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，
求证：MN∥平面AA1B1B.
3、棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点.
(1)求证：E、F、B、D四点共面；
(2)求证：面AMN∥面EFBD.
M
N
E
F
面面平行判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
推论：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
面面平行性质定理:
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
填空：
b ∥ α，b与 α相交
或b与 α相交
2．判断下列命题的对错。
（1）过直线外一点只能引一条直线与
这条直线平行. （ ）
（2）过平面外一点只能引一条直线与
这个平面平行. （ ）
（3）若两条直线都和第三条直线垂直，
则这两条直线平行. （ ）
（4）若两条直线都和第三条直线平行，
则这两条直线平行. （ ）
对
错
对
错