2.2.1 直线与平面平行的判定定理
2.2.2平面与平面平行的判定定理
1.空间直线与平面的位置关系有哪几种?
2.如何判定一条直线和一个平面平行呢？
复习引入
将课本的一边AB紧靠桌面，并绕AB转动，观察AB的对边CD在各个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？
②从中你能得出什么结论？
A
B
C
D
CD是桌面外一条直线， AB是桌面内一条直线， 若CD ∥ AB ，则CD ∥桌面.
①直线AB、CD与桌面分别是什么位置关系呢？
猜想：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，　　　　　　　　那么这条直线和这个平面平行.
观察:
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
(2)该定理作用：“线线平行线面平行”——空间问题“平面化”
1.直线与平面平行的判定定理
(1)用该定理判断直线a和平面平行，须具备三个条件：  “面外、面内、平行”
(3)应用该定理，关键是在平面内找到一条直线与已知直线a平行.
已知:空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.
求证:EF//平面BCD.
分析：EF在面BCD外，要证明EF∥面BCD，只要证明EF和面BCD内一条直线平行即可.
EF和面BCD哪一条直线平行呢？
直线BD
例 求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面.
∵在△ABD中，E、F分别是AB、AD的中点
证明：
∴EF∥BD
∴EF∥平面BCD
连接BD，
三角形的中位线是常用的找平行线的方法.
1.如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点.
(3)你能说出图中满足线面平行位置关系的所有情况吗？
(1)E、F、G、H四点是否共面？
(2)试判断AC与平面EFGH的位置关系；
练习
解：(1)E、F、G、H四点共面.
∵在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点.
∴EH∥BD且
同理GF∥BD且
∴ EH∥GF且 EH＝GF
∴E、F、G、H四点共面.
(2) AC ∥平面EFGH
解:（3）由EF∥HG∥AC，得
EF∥平面ACD，
AC∥平面EFGH，
HG∥平面ABC.
由BD∥EH∥FG，得
BD∥平面EFGH，
EH∥平面BCD，
FG∥平面ABD.
1.如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点.
(3)你能说出图中满足线面平行位置关系的所有情况吗？
(1)E、F、G、H四点是否共面？
(2)试判断AC与平面EFGH的位置关系；
（1）平行
（2）相交
1. 平面与平面有几种位置关系？
没有公共点
有一条公共直线
复习引入
①问1：两个平面平行，那么其中一个平面的直线与另一个平面的位置关系如何?
平行
②问2：如果一个平面内的所有直线，都与另一个平面平行，那么这两个平面的位置关系如何?
平行
结论：两个平面平行的问题可以转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题.
③当然我们不需要证明所有直线都与另一平面平行，那么需要几条直线才能说明问题呢？
复习引入
2.问题：还可以怎样判定平面与平面平行呢？
（两平面平行）
（两平面相交）
探究
（两平面平行）
（两平面相交）
E
F
直线的条数不是关键!
探究
直线相交才是关键！
探究
线不在多，重在相交！
2.平面与平面平行的判定定理
若一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行.
(1)该定理中，“两条”，“相交”都是必要条件，缺一不可：
(2)该定理作用：“线面平行面面平行”
(3)应用该定理，关键是在一平面内找到两条相交直线分别与另一平面内两条直线平行即可.
线线平行线面平行面面平行
证明：因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，
所以D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1
又AB∥A1B1，AB＝A1B1，
∴D1C1∥AB，D1C1＝AB，
∴D1C1BA是平行四边形，
∴D1A∥C1B，
由直线与平面平行的判定，可知
同理  D1B1∥平面C1BD.
又 D1A∩D1B1=D1，
所以，平面AB1D1∥平面C1BD.
D1A∥平面C1BD，
平行四边形对边平行是常用的找平行线的方法.
练2: 正方体ABCD-A1B1C1D1中，若M、N、P、Q分别是棱A1D1，A1B1，BC，CD的中点，求证：平面AMN//平面C1QP.
练1: 正方体ABCD-A1B1C1D1中，若M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证:平面AMN//平面EFDB.
K
变式
练习
例 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点.求证：EF//平面ABC1D1.
P56 2 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点.试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由.
O
注意：在直观图中，线段平行关系不变，可利用此特性先直观地找出平行线的可能所在.
练习
如图，已知P、Q是边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1DD1 ,面ABCD的中心.求证PQ// 平面AA1B1B,并求线段的PQ长.
问：PQ// 平面DD1C1C？
∵PQ//C1D
练习
C1
A
C
B1
B
M
N
A1
F
证明：取A1C1中点F，连结NF，FC．
∵N为A1B1中点，
M是BC的中点，
∴NFCM为平行四边形，
故MN∥CF
∴ MN∥平面AA1C1C.
例 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，M、 N分别是BC和A1B1的中点，求证：MN∥平面AA1C1C
练习
练1：三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC1上的点，F是CB1上的中点，求证：A1B//平面ADC1 .
G
同理可证GF//平面ABC.
又GE∩GF=G，所以面GEF//面ABC.
练2：在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为正三角形，D是BC上的点，若AD⊥BC，求证：A1B//平面ADC1 .
E
练习
例 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，M，N分别是AB，PC的中点,求证：MN//平面PAD.
H
G
法二：取DC的中点G，连接GN，GM ，
往证面GMN//面PAD即可.
练：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，△PAD是正三角形，E，F分别是PC，BD的中点，求证：EF//平面PAD.
G
H
练习
例 如图，点B为△ACD所在平面外一点，M，N分别为△ABC，△ABD的重心.(1)求证：MN//平面ACD.(2)若底面边长为1为正三角形，求线段的MN的长度.
E
F
线段成比例也是常用的找平行线的方法.
E
F
H
练习
练习
练1：如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在AB1上，F在BD上，B1E=BF，求证：EF// 平面BB1C1C.
解:（1）连接AF交BC于点Ｋ，再连接B1K，
K
练习
练2：P是长方形ABCD所在平面外的一点，AB、PD两点M、N满足AM：MB=ND：NP.求证：MN∥平面PBC.
练习
过M作ME//AD交BD于点E，连接EN
2. 线面平行判定定理应用时应注意: “面外，面内，平行”；面面平行判定定理判定应用时应注意:“两条，相交”；
小结：
1.直线与平面平行的判定以及平面和平面平行的判定：
3.应用判定定理判定线面平行的关键是找平行线
方法一：三角形的中位线定理；
方法二：平行四边形的平行关系.
方法三：线段成比例.
作业：P56 2+P58 1/2/3+P62 3/7/8
3.判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则
与 平行；
（2）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则
与 平行；
（3）如果一个平面内任意一条直线平行于另一个平面,
那么这两个平面平行；
（4）平行于同一直线的两个平面平行；
（5）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平
行；
（6）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平
行的平面．
×
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×
×
P58 1、3
a
α
β
c
b
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