2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
六角螺母
定义1:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
注：概念应理解为:
“经过这两条直线无法作出一个平面” .
或:“不可能找到一个平面同时经过这两条直线”．
定义2:不相交也不平行两条直线叫做 异面直线.
注意: 分别在某两个平面内的两条直线不一定
是异面直线, 它们可能是相交,也可能是平行.
一、异面直线:
异面直线的画法:
A
b
a
b
a
b
a
用平面衬托
A1
B1
C1
D1
C
B
D
A
练习：如图：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？
答案：
D1C1、C1C、CD、
D1D、AD、B1C1
二、空间两直线的位置关系：
(1)从公共点的数目来看，可分为：
①有且只有一个公共点——两直线相交
②没有公共点
两直线平行
两直线为异面直线
(2)从平面的性质来讲，可分为：
两直线相交
①在同一平面内
两直线平行
②不在同一平面内——两直线为异面直线
问题：在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，在空间中此结论仍成立吗？
若a∥b，b∥c,
则a∥c
公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.(空间平行直线的传递性)
空间四边形：
如图，顺次连结不共面的四点A、B、C、D所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.
A
B
C
D
相对顶点A与C，B与D的连线AC、BD叫做这个空间四边形的对角线.
例1：已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，
求证：四边形EFGH是平行四边形.
解题思想：
把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法.
问题：在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等吗？
α
β
方向相同或相反，结果如何？
α
β
γ
一组边的方向相同，而另一组边的方向相反，又如何？
α
β
等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们的夹角, 用以刻画两直线的错开程度, 如图.
在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?
三、异面直线所成角：
平移法
O
异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线a,b ,经过空间任一点O作直线a′∥a ,b ′∥b 则把a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小
是否改变?
45o
例2:(1)求直线BA1和CC1所成角的度数.
找两条异面直线所成的角，要作平行移动(平行线)，把两条异面直线所成的角，转化为两条相交直线所成的角.
例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直？

如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB = , AD = ,AE = 2
(1)求BC 和EG 所成的角是多少度?
(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?
解答：
一作(找)、二证、三求
(1)通过直线平移，作出异面直线
所成的角，把空间问题转化为
平面问题.
(2)利用平面几何知识，
求出异面直线所成角的大小.
异面直线所成角的求法：
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，棱长为a，
E、F分别是棱A’B’，B’C’的中点，求：
①异面直线 AD与 EF所成角的大小；
②异面直线 B’C与 EF所成角的大小；
③异面直线 B’D与 EF
所成角的大小.
平
移
法
O
G
AC∥ A’C’∥ EF, OG ∥B’D
B’D 与EF所成的角
即为AC与OG所成的角,
即为∠AOG或其补角.
AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对?
相交直线有几对?
平行直线有几对?
小结
作业：
完成教材相关练习和《学海导航》
１、一条直线与两条异面直线中的一条相交，
　　那么它与另一条之间的位置关系是（　）
Ａ、平行　　　Ｂ、相交
Ｃ、异面　　　Ｄ、可能平行、可能相交、可能异面
２、两条异面直线指的是（　）
Ａ、没有公共点的两条直线
Ｂ、分别位于两个不同平面的两条直线
Ｃ、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
Ｄ、不同在任何一个平面内的两条直线
备选练习：
3、下列命题中，其中正确的是（ ）
（１）若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行
（２）若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行
（３）若两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行
（４）若两条直线都和第三条直线异面，那么这两条直线互相平行
4、三个平面两两相交，所得的三条交线（　）
Ａ、交于一点　　　Ｂ、互相平行
Ｃ、有两条平行　　Ｄ、或交于一点或互相平行
A
c
B
D
H
E
F
G
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｐ
Ｍ
Ｎ
3.下图长方体中
平行
相交
异面
② BD 和FH是 直线
① EC 和BH是 直线
③BH 和DC是 直线
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 条?
4
分别是 ：CG、HD、GF、HE
课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线?
(1)说出以下各对线段的位置关系?
4.如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求(1)BE与CG所成的角？
(2)FO与BD所成的角？
连接HA、AF，
(2)连接FH，
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD
∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角
则AH=HF=FA
∴ △AFH为等边△