2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1.熟练掌握异面直线定义；（重点）
2.理解掌握空间两直线的位置关系;
3.熟练掌握平行公理4，并会简单应用; （重点）
4.理解掌握等角定理及其推论;
5.熟练掌握异面直线所成角定义；
6.掌握求两异面直线所成角的方法. （难点）
立交桥
六角螺母
两条直线既不平行也不相交
m
m
m′
图1
图2
l
l
m′
一、空间两直线的位置关系
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行、空间中两直线之间的这种关系称为异面直线.
l′
P
l′
的两条直线叫做异面直线.（既不相交也不平行的两条直线）
不同在任何一个平面内
1.异面直线
注：概念应理解为:
“经过这两条直线无法作出一个平面” .
或:“不可能找到一个平面同时经过这两条直线”．
注意: 分别在某两个平面内的两条直线不一定 是异面直线, 它们可能相交,也可能平行.
判断：
直线m和l是异面直线吗?
(2) ,则 a与b是异面直线
(3)a,b不同在平面α内,则a与b是异面直线
不是
是
错
错
异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任何一个平面内的特点
下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？
三对
AB与CD
AB与GH
EF与GH
①从有无公共点的角度：
有且仅有一个公共点---------相交直线
在同一平面内--------
相交直线
②从是否共面的角度
没有公共点---------
平行直线
异面直线
不同在任何一个平面内---------异面直线
平行直线
空间两条直线的位置关系
在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间中，是否有类似的规律？
如图,长方体ABCD-A′B′C′D′中, BB′∥AA′, DD′∥AA′,那么BB′与DD′平行吗?
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据.
a∥b
c∥b
a∥c
符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,

若
2. 空间两平行直线
空间四边形：
如图，顺次连接不共面的四点A、B、C、D所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.
A
B
C
D
相对顶点A与C，B与D的连线AC、BD叫做这个空间四边形的对角线.
例1：如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
解题思想：
把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”.在空间中,结论是否仍然成立呢?
观察思考：如图,∠ADC与∠A′D′C′、∠ABC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
3. 等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
三、两条异面直线所成的角
如图所示，a、b是两条异面直线，
在空间中 一点O，
过O点分别作 a、b的平行线 a′和 b′，
a′
b′
则这两条线所成
的锐角θ（或直角），
θ
称为异面直线a，b所成的角.
？
任选
平移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直.
异面直线a与b垂直也记作a⊥b.
异面直线所成角θ的取值范围：
例2 如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′.
（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？
（3）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
解:（1）由异面直线的定义可知，
与直线BA′成异面直线的有直线B′C′，AD,CC′,DD′,DC,D′C′
(3)直线
与直线 垂直.
（2）由 可知，
为异面直线 与 的夹角,
=45°
所以异面直线 与 的夹角为45° .
分别
1. 判断:
（1）平行于同一直线的两条直线平行.（ ）
（2）垂直于同一直线的两条直线平行.（  ）
（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线
平行.（ ）
（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两
条.（ ）
（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么
这两个角相等.（ ）
（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么
这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（   ）
√
×
√
√
×
×
2.填空：
1.空间两条不重合的直线的位置关系有 、 、
三种.
2.没有公共点的两条直线可能是 直线，也有可能
是 直线.
3.和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置
关系有 .
4、过已知直线上一点可以作 条直线与已知直线
垂直.
平行
相交
异面
平行
异面
无数
相交、异面
3.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB= ,AD= , AE=2.
(1)求BC和EG所成的角是多少度?
(2)求AE和BG所成的角是多少度?
解答：
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
异面直线的定义:
公理４：
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
不能因为第一次飞翔遇到了乌云风暴，从此就怀疑没有蓝天彩霞。