2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
相交
（有一个公共点）
平行
（无公共点）
复习与准备：平面内两条直线的位置关系
看一下生活中的例子：
立交桥中, 两条路线AB, CD
A
B
C
D
思考一
2.直线a,b平行吗？
a
b
1.直线a,b相交吗？
不相交
不平行
3. 能否找到一个平面,
使得a,b两条直线都在这个平面内？
黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？
既非平行
又非相交
空间中两条直线的位置关系
观察：
观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线,想一想:它们相交吗?平行吗?共面吗?
观察长方体的棱所在
直线,回答类似的问题.
思考：我们把具有上述特征的两条直线取个怎样的名字才好呢？
线段A′B所在直线与线段CC′所在直线的位置关系如何？
不同在 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
1.异面直线的定义:
定义中是指“任何”一个平面，是指找不到一个平面，
使这两条直线在这个平面上,这样的两条直线才是异面直线。
注1
例子：如图,在长方体中，
判断AB与HG是不是异面直线？
AB与HG不是异面直线。
任何
异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点，
常借助一个或两个平面来衬托.
①从有无公共点的角度：
有且仅有一个公共点---------相交直线
在同一平面内--------
相交直线
②从是否共面的角度
没有公共点---------
平行直线
异面直线
不同在任何一个平面内---------异面直线
平行直线
若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行
空间两条直线的位置关系
这样表示a、b异面正确吗？
1.平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线。
答：错。
例1.判断题1
a与b是相交直线
a与b是平行直线
a与b是异面直线
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
2.分别在两个平面内的两条直线一定异面。
判断题2
注2
在不同平面内的两条直线不一定异面。
1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，
与对角线AC1异面的棱有(　　)
A．3条　　　 B．4条
C．6条 D．8条
解析：　在正方体中与AC1异面的棱有BC、CD、BB1、DD1、C1D1、A1D1共6条．
答案：　C
2．如果两条直线a和b没有公共点，则a和b( 　)
A．共面 B．平行
C．异面 D．平行或异面
答案：　D
如图:AA1与CC1在同一平面吗?
直观上
理论上
BB1∥AA1,DD1∥AA1,BB1与DD1平行吗?
⑵已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1
上的点，那么MN与AB所在的直线相交吗？
A
B
C
D
A1
B1
D1
C1
M
N
2、平行直线
公理４　平行同一条直线的两条直线互相平行.
b
c
a，b，c三条直线两两平行，可以记为a∥b∥c
(空间、平面平行线的传递性)
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析：
欲证EFGH是一个平行四边形
只需证EH∥FG且EH＝FG
E，F，G，H分别是各边中点
例题示范
例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
在例1中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?
E
H
F
G
A
B
C
D
分析：在例题1的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。
菱形
变式一：
例2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F分别为AA1，CC1的中点．

求证：BF ED1.
三角形重心是三角形三边中线的交点,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
3. 等角定理
提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢?
观察思考：如图,∠ADC与∠A1D1C1 、∠ADC与∠A1B1C1的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
3. 等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
3. 等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
例5
[解题过程]　证明：(1)
(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1.

例6
下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有 对。
3
直线EF和直线HG
直线AB和直线HG
直线AB和直线CD
课堂小结：
这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论．异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念；
证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作—证—算—答”

作业布置:
P51　A组3、4（1）（2）（3）、5、6.