立体几何
2.1.2空间中直线与直线
之间的位置关系
平面内两条直线的位置关系
复习引入
螺 母
新课探究
观察下列图形，说说空间中两条直线的位置关系
探究一
立交桥
思考：存在不存在一个平面同时过上面两条直线？
问题1：在平面几何中，两直线的位置
关系如何？
讲授新课
问题2：没有公共点的直线一定平行吗？
问题3：没有公共点的两直线一定在同
一平面内吗？
1.异面直线的定义:
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
1)异面直线既不平行也不相交
一、空间两条直线的位置关系
2)定义中“任何”是指两条直线永远不具备确定平面的条件，即是不可能找到一个平面同时包含这两条直线；
不能认为分别在两个平面内的两条直线叫异面直线。
a与b是相交直线
a与b是平行直线
a与b是异面直线
它们可能异面，可能相交，也可能平行。
它们可能异面，可能相交，也可能平行。
也不能认为不在同一平面内的两条直线叫异面直线。
说明: 画异面直线时 , 为了体现
它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.
如图：
(1)
(3)
(2)
3）异面直线的画法
4）异面直线的判定方法：
①不同在任何一个平面内。
②既不相交也不平行的直线。
③连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面
内不经过此点的直线是异面直线。
求证：直线AB和a是异面直线。
证明:(反证法)
假设直线AB和a不是异面直线。
（公理2的推论1）
所以直线AB和a是异面直线。
这与已知A∉α矛盾，
按平面基本性质分
同在一个平面内
相交直线
平行直线
不同在任何一个平面内:
异面直线
有一个公共点:
按公共点个数分
相交直线
无 公 共 点
平行直线
异面直线
2 、空间中直线与直线之间的位置关系
A1
B1
C1
D1
C
B
D
A
练习1、 如图所示：正方体的棱所在的直线
中，与直线A1B异面的有哪些？
答案：
D1C1、C1C、CD、
D1D、AD、B1C1
A1
B1
C1
D1
C
B
D
A
练习1、 如图所示：正方体的棱所在的直线
中，与直线A1B异面的有哪些？
下图长方体中
平行
相交
异面
② BD 和FH是 直线
① EC 和BH是 直线
③BH 和DC是 直线
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 条?
4
分别是 ：CG、HD、GF、HE
课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线?
(1)说出以下各对线段的位置关系?
练习3
1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画
一条直线，使它们成为：
⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
巩固：
1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画
一条直线，使它们成为：
⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
a


⑴
巩固：
1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画
一条直线，使它们成为：
⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
a


a
b


⑴
⑵
巩固：
1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画
一条直线，使它们成为：
⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
a


a
b


a
b


⑴
⑵
⑶
巩固：
2. 两条异面直线指：
A. 空间中不相交的两条直线；
B. 不在同一平面内的两条直线；
C. 不同在任一平面内的两条直线；
D. 分别在两个不同平面内的两条直线；
E. 空间没有公共点的两条直线；
F. 既不相交，又不平行的两条直线.
巩固：
( )
填空：
1、空间两条不重合的直线的位置关系有________、 ________、 ________三种。

2、没有公共点的两条直线可能是________直线，也有可能是
________直线。

3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系
有______________。
平行
相交
异面
平行
异面
相交、异面
练习提升
“a，b是异面直线”是指 ① a∩b=Φ,且a不平行于b；② a 平面 ，b 平面 且a∩b=Φ ③ a  平面 ，b  平面  ④ 不存在平面 ，能使a   且b   成立
1、
上述结论中，正确的是 （   ）
（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④
2、长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （   ）
 （A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对
C
C
3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（  ）
（A）一定是异面直线（B）一定是相交直线
（C）可能是平行直线
（D）可能是异面直线，也可能是相交直线
4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是(  )
（A）平行（B）相交（C）异面（D）相交或异面
D
D
探究:
H
G
C
A
D
B
E
F
如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB,
CD , EE , GH这四条线段所在直线是异面直线的有 对?
答:共有三对
我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,
那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, …
之间有何关系？
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
———平行线的传递性
二、空间直线的平行关系
若a∥b，b∥c，
1、平行关系的传递性
则 a∥c。
公理4的作用：它是判断空间两条直线平行的依据
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
二.空间直线的平行关系：
例2.已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC， CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证：EFGH是一个平行四边形。

 证明：连结BD
∵ EH是△ABD的中位线
∴EH ∥BD且EH = BD
同理，FG ∥BD且FG = BD
∴EH ∥FG且EH =FG
∴EFGH是一个平行四边形
如果再加上条件AC = BD,那么四边形EFGH是什么图形？
在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的
两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结
论是否仍然成立呢？
定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．
观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,
∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小
关系如何?
二.空间直线的平行关系：
2.等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
问：这两个角什么时候相等，什么时候互补？
三.异面直线所成的角
在平面内,两条直线相交成四
个角, 其中不大于90度的角称为它
们的夹角, 用以刻画两直线的错开
程度, 如图.
在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?
问题提出
复习回顾
解决问题
异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
O
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小
是否改变?
∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (公理4),
解答： 如图
设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 ,
同理 b′∥b″, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理)
答 :
这个角的大小与O点的位置无关.
说明：
1、分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的
锐角（直角）叫做两异面直线所成的角
2、定义由等角定理解释：
为了简便，在求作异面直线所成的角时,O点 常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等)
如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
因此，异面直线所成角的范围是（0， ]
3、特例：
求异面直线所成的角的步骤是:
一作(找)：作（或找）平行线
二证：证明所作的角为所求的异
面直线所成的角。
三求：在一恰当的三角形中求出角
4、解题时，常将异面直线所成的角转化相交直线所成的角实现了空间问题平化。
5、求异面直线所成的角的基本法则：
作平行线，构三角形
探究？
（1）如图，观察长方体
ABCD-A1B1C1D1，有没有两条棱
所在 的直线是相互垂直的异面直线？
（2）如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直，
另一条直线是否与这条直线垂直？
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' 中。
（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？
（2）直线BA' 和CC' 的夹角是多少？
（3）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？
，
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
例3
如图，已知正方体  中。
（1）哪些棱所在直线与直线 是异面直线？
（2）直线  和  的夹角是多少？
（3）哪些棱所在的直线与直线  垂直？
解：（2）由 可
知， 等于异面直线 与 的夹角,所以异面直线 与 的夹角为450 。
(3) 直线
与直线 都垂直.
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
例3
解：分别取AB、BC、CD、BD的中点，E、F、G、H，连接EF、FG、GH、EH、EG，
1
P
2
课堂练习1
如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求
(1)BE与CG所成的角？
(2)FO与BD所成的角？
连接HA、AF，
(2)连接FH，
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD
∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角
则AH=HF=FA
∴ △AFH为等边△

解答：
课堂练习2
课堂小结
作业：
名师一号
再见！