2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》
复习引入：
1.同一平面内不重合两条直线有几种位置关系？
2.在同一平面内，同平行于一条直线的两条直线有什么位置关系？
(1)相交：有且仅有一个公共点。
(2)平行：在同一平面内没有公共点。
互相平行
提出问题：空间中的两条直线呢？
1.空间中两条直线的位置关系
观察：
观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线,想一想:它们相交吗?平行吗?共面吗?
观察长方体的棱所在
直线,回答类似的问题.
思考：我们把具有上述特征的两条直线取个怎样的名字才好呢？
线段A′B所在直线与线段CC′所在直线的位置关系如何？
异面直线的定义:
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（skew lines）。
空间两条直线的位置关系有且只有三种
练习：“a，b是异面直线”，则下列命题正确的是
① a∩b=Φ,且a不平行于b；
② a 包含于平面α，b包含于平面β，且a∩b=Φ  
③ a 包含于平面α，b 平面a 
④ 不存在平面α，能使a包含于α，且b包含于α成立
√
√
想一想:怎样通过图形来表示异面直线?
为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。如下图:
2.异面直线的画法:
1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画
一条直线，使它们成为：
⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
a


a
b


a
b


⑴
⑵
⑶
练习：
想一想,做一做：
1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？
答案：
D1C1、C1C、CD、
D1D、AD、B1C1
A1
B1
C1
D1
C
B
D
A
练习 如图所示：正方体的棱所在的直线
中，与直线A1B异面的有哪些？
( )
2. 两条异面直线指：
A. 空间中不相交的两条直线；
B. 某平面内的一条直线和这平面外的直线；
C. 分别在不同平面内的两条直线；
D. 不在同一平面内的两条直线；
E. 不同在任一平面内的两条直线；
F. 分别在两个不同平面内的两条直线；
G. 某一平面内的一条直线和这个平面外
的一条直线；
H. 空间没有公共点的两条直线；
I. 既不相交，又不平行的两条直线.
练习：
E、I
2. 下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？
探究：
三对
AB与CD
AB与GH
EF与GH
3.
3. 空间两平行直线
提出问题：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
a∥b
c∥b
a∥c
符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,若
想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直,是否也有类似的规律?
问：垂直于同一条直线的两条直线，有几种位置关系
——有三种：相交，平行，异面
例题示范
例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析：
欲证EFGH是一个平行四边形
只需证EH∥FG且EH＝FG
E，F，G，H分别是各边中点
例题示范
例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
变式一： 在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?
E
H
F
G
分析：
在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。
菱形
变式二：
空间四面体A--BCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且 ，
求证:四边形EFGH为梯形.
A
B
C
D
E
H
F
G
分析：需要证明四边形EFGH有
一组对边平行，但不相等。
练习：
1．判断题　　
（1）平行于同一直线的两条直线平行 . （ ）　　
（2）垂直于同一直线的两条直线平行 . （ ）　　
（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ）　　
（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ）
√
√
×
×
2.选择题
（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）　　
（A）异面 （B）平行 （C）相交 （D）以上都有可能
（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （ ）　　
（A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对　　
（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（ ）　　
（A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线　　
（C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 　　
（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )　　
（A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面
D
C
A
D
4. 等角定理
提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢?
观察思考：如图,∠ADC与∠A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
3. 等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
3. 等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
5. 异面直线所成的角
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）。
为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经过点O作直线a'∥a，a' 和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角。
想一想:a'与b' 所成角的大小与点O的位置有关吗?
5. 异面直线所成的角
如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作a⊥b。
两条异面直线所成角的范围为
与两条异面直线的都垂直的直线叫做两条异面直线的公垂线
则两异面直线的公垂线有几条?
两条直线互相垂直，它们一定相交吗？
（00，900］
有且只有一条
不一定，还可能异面
探究：
右图中有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线？
请说出其中的3对
垂直于同一条直线的两条直线是否平行
——不一定，可能是平行直线，也可能是相交直线，也可能是异面直线。请对照右图说明。
如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？
一定垂直
例题示范
例2、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' 中。
（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？
（2）直线BA‘ 和CC’ 的夹角是多少？
（3）直线BA' 和D'  C' 的夹角是多少？
（4）直线BA' 与 A'  C' 的夹角是多少？
（5）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？
解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线
成异面直线的有直线
，
例题示范
解：（2）由 可知，
等于异面直线 与 的夹角,所以异面直线 BA '和CC’
的夹角为450 。
(5) 直线
与直线 都垂直.
例2、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' 中。
（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？
（2）直线BA '和CC’ 的夹角是多少？
（3）直线BA' 和D'  C' 的夹角是多少？
（4）直线BA' 与 AC 的夹角是多少？
（5）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？
(4)可知∠ C ’ A ’ B为异面直线BA‘ 与 AC的夹角，而三
角形C ’ A ’ B为正三角形，故直线BA‘ 与 AC 的夹角是60度
5. 异面直线的判定定理
异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线
与 是异面直线
练一练,巩固新知：P48页练习1,2题。
例3: 如图， 是平面 外的一点 分别是
的重心，
求证： 。
证明：连结 分别交
于 ,连结 ,
∵G,H分别是⊿ABC,⊿ACD的重心,∴M,N分别是BC,CD的中点,
∴MN//BD,
又∵

∴ GH//MN,由公理4知GH//BD.
练习反馈：
1. 判断:
（1）平行于同一直线的两条直线平行.（ ）
（2）垂直于同一直线的两条直线平行.（  ）
（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ）
（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.    （ ）
（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）
（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. （   ）
√
×
√
√
×
×
练习反馈：
2．选择题
 （1）“a，b是异面直线”是指 ① a∩b=Φ,且a不平行于b；② a Ì平面a，bÌ平面b且a∩b=Φ ③ a Ì平面a，b 平面a ④ 不存在平面a，能使a Ìa且b Ìa成立
上述结论中，正确的是 （   ）
（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④
（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （   ）
 （A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对
C
C
（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（  ）
 （A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线
 （C）可能是平行直线
（D）可能是异面直线，也可能是相交直线
（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是(  )
（A）平行 （B）相交
（C）异面 （D）相交或异面
3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？
答：不一定，还可能异面．
D
D
4.垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系？
答：三种：相交，平行，异面．
5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．
6．选择题
 （1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 （  ）
 （A）异面 （B）平行
（C）相交 （D）以上都有可能  
（2）异面直线a,b满足a Ìa,b Ìb,a∩b=l,
则l与a,b的位置关系一定是（  ）
(A)l至多与a，b中的一条相交;
(B)l至少与a，b中的一条相交;
(C)l与a,b都相交;
(D)l至少与a，b中的一条平行.
D
B
（3）两异面直线所成的角的范围是 （ ）
（A）（0°,90°） （B）[0°,90°)
（C）（0°,90°] （D）[0°,90°]
7．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
 （1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行           （   ）
 （2）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变       （  ）
 （3）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形                 （   ）
C
×
√
×
课堂小结：
这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论．异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念；
证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作—证—算—答”

作业布置:
P51　A组3、4（1）（2）（3）、5、6.