高中数学必修2《1.3.2球的体积和表面积》精品PPT课件免费下载
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主题探究导学
典型例题精析
【例1】在球内有相距1 cm的两个平行截面，截面面积分别是5π cm2和8π cm2，球心不在截面之间，求球的表面积.
思路点拨：由截面面积可求出截面圆的半径，两截面相距1 cm，可求出球的半径，可先画出图形，再把问题平面化.
【练一练】1.两个球的半径之比为1∶3,那么两个球的表面积之比为( )
(A)1∶9 (B)1∶27 (C)1∶3 (D)1∶1
2.等体积的正方体和球，它们的表面积的大小关系是
（ ）
(A)S球>S正方体 (B)S球=S正方体
(C)S球3.湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个面直径为24 cm，深为8 cm的空穴，则这球的半径为____.
【例2】有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.
思路点拨：画出截面图，据图分析比较即可.
【练一练】1.一个球与它的外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之比为（ ）
(A)2∶5 (B)1∶2 (C)2∶3 (D)4∶9
2.三棱锥P—ABC的三条侧棱互相垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，则该三棱锥的外接球的半径等于____.
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分）
1.把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为( )
(A)3 cm (B)6 cm (C)8 cm (D)12 cm
【解析】选B.因为
所以R3=216,R=6.故选B.
2.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π,则球的体积为( )
(A) (B)8 π (C) (D)
【解析】选C.设球的半径为R，则截面圆的半径为 所
以截面圆的面积S=π( )2=(R2-1)π=π,所以R2=2,R=
球的体积 故选C.
3.如图，在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）
【解析】选B.截面不与侧棱相切，截面圆与底面相切，截面圆与侧面等腰三角形底边上的高相切，故选B.
二、填空题（每题5分，共10分）
4.若一个球的体积为4 π,则它的表面积为____.
【解析】设球的半径为R，
则 R=
所以球的表面积为4πR2=12π.
答案：12π
5.一个底面直径是32 cm的圆柱形水桶装入一些水，将一个表面积是576π cm2的球放入桶内被水完全淹没，则水面将会上升____cm.
【解题提示】根据题目意思筛选信息得到球的体积等于水面上升h的圆柱的体积.
【解析】设球的半径为R，则4πR2=576π,R=12，故球的体
积V= πR3=2 304π.设水面会上升h cm，则（ ）2πh=
2 304π,解得h=9(cm).
答案:9
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分）
6.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AC=BC=6,AB=4,求球的表面积与球的体积.
【解析】如图,设球心为O,球半径为R,
作OO1⊥平面ABC于O1,由于
OA=OB=OC=R,
所以O1是△ABC的外心.
设M是AB的中点,
因为AC=BC,所以O1在CM上.
7.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着
一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋,请你
设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等
于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略
不计),使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎
样设计最省材料?
【解题提示】解决本题关键是求出半球的体积和圆锥的体积，然后使得圆锥体积大于等于半球的体积即可.
【解析】
即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm,高大于或等于8 cm时,冰淇淋融化后不会溢出杯子.
又因为S圆锥侧=πrl=πr 当圆锥高取最小值8时,
S圆锥侧最小,所以高为8 cm时,制造的杯子最省材料.
1.（5分）(2009·辽宁高考)如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬60°纬线长和赤道长的比值为（ ）
(A)0.8 (B)0.75
(C)0.5 (D)0.25
【解析】选C.设地球半径为R,则北纬60°纬线圆的半径
为Rcos60°= R，而圆周长之比等于半径之比，故北纬60°纬线长和赤道长的比值为0.5.
2.(5分)(2009·全国Ⅱ)设OA是球O的半径，M是OA的中点，
过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面
积等于 则球O的表面积等于____.
【解析】如图是球O和截面圆的一个截面
图，∠OMC=45°.
设球的半径为R,⊙C的半径为r,
则πr2= r2=
在Rt△OCM中，OM=
OC=OM·sin∠OMC=
在Rt△OCE中，由OC2+CE2=OE2，得( )2+ =R2,
解得R= ∴S球=4πR2=8π.
答案:8π
3.(5分)某个几何体的三视图如图所示(单位：m).
该几何体的表面积等于 (结果保留π) ____.
【解析】由三视图可知：该几何体上半部分是半径为1 m的
半球，下半部分是棱长为2 m的正方体.它的表面积
S= ×4π×12+6×22-π×12=(24+π)(m2).
答案:(24+π) m2
4.（15分）求棱长为a的正四面体（高为 a)和正方体内切球的半径.
【解题提示】在解题时首先需要把外接球半径和内切球半径表示出来，注意求内切球半径一般用等体积法处理.
【解析】设正四面体A-BCD内切球的球心为O，半径为r,O点与A，B，C，D相连，得四个锥体，设底面为S,则每个侧面积为S，
有4· ·Sr= S·AH,
∴r= AH= a,
设正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球球心为O′,半径为R，
据对称性可知，切点为正方体的面的中心.
∴2R=a,即
