球的体积和表面积
教学目标：
1.熟记球的体积公式和表面积公式；
2.会用球的体积公式
和表面积公式
解决有关问题。
提出问题：
1、球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？
2、球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？
1．探究球的体积公式
回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。
构造新的几何体,结合祖暅原理推导球的体积公式(见P32页)
设球的体积为V,则有:
∴
O.
已知球的半径为R
问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.
定理:半径是R的球的体积
2. 探究球的表面积公式
设球O的半径为R，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用
表示
以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积.
可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半径R近似地等于小棱锥的高
因此，第i 个小棱锥的体积
当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积:
又因为 ，且
可得:
又因为
所以:
所以球的表面积:
例1.已知过球面上A,B,C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2,求球的表面积.
解:设截面圆心为O',连结OA,
设球半径为R .则:
在 中，
∴　　　　　　　　　　，
例2．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为 ,求球的表面积和体积。
解：作轴截面如图所示，
设球半径为R ,则:
例3．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积。
解：设球半径为R ,正四棱柱底面边长为a,则作轴截面如图，
又
∴
例4. (P27页)如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的　，
　　　(2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。
证明:(1) 设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R。.
因为
所以,
(2) 因为
，所以,
完成P28练习1,2,3题
补充练习：
1．三个球的半径之比为 那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的      倍；
2.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加      倍；
3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是       ；
4.正方体全面积是24,它的外接球的体积是    ，内切球的体积是      ．
5.球O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比．
答案：1. 3   2. 7     3. 6    4.  　,
5 解：设正方体棱长为a，则三个球的半径依次

为 , , .
∴  三个球的表面积之比是
小结归纳 ：
1、球的表面积公式的推导及应用；
2、球的内接正方体、长方体及外切正方体的有关计算
“分割 求近似和 化为准确和”的方法，是一种重要的数学思想方法——极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；
3、球的体积公式和表面积公式要熟练掌握.
作业布置：
P28  习题1.3  A组第5题； 
课外 P29  B组第 1题.