1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积公式的推导过程.（难点）
2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积与体积.（重点）
3. 熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系，培养转化与化归的思想与空间想象能力. （难点）
几何体表面积
展开图
平面图形面积
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．
一般地，我们可以把多面体展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求多面体的表面积．
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
知识探究
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱柱的侧面展开图
正棱柱的侧面展开图
将空间图形问题转化为平面图形问题，是解立体几何问题最基本、最常用的方法.
特别提醒
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧面展开
正棱锥的侧面展开图
棱锥的侧面展开图
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱台的侧面展开图
侧面展开
正棱台的侧面展开图
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它们的各个侧面面积与底面面积之和．
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．
分析：四面体的展开图是由四个全等的等边三角形组成．
因此，四面体S-ABC 的表面积为
交BC于点D．
【解析】先求△SBC的面积，过点S作
知识应用
圆柱的表面积
圆柱的侧面展开图是一个矩形，
圆锥的表面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形，
S
圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么?
圆台的侧面展开图是一个扇环，
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
【提升总结】
知识应用
例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100 毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（π取3.14，结果精确到1 毫升，可用计算器）？
分析：只要求出每一个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积.
涂100个花盆需油漆：
0.1×100×100=1000（毫升）.
答：涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.
【解析】
如图，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式.它们的体积公式可以统一为
柱体体积
一般柱体的体积也是
其中S为底面面积，h为柱体的高．
圆锥的体积公式是
（其中S为底面面积，h为高），
它的体积是同底等高的圆柱的体积的 ．
圆锥体积
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．
棱锥体积
三棱锥与同底等高的三棱柱的关系
等底等高的三棱锥体积相等.
（其中S为底面面积，h为高）.
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的 ．
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积
的 ，即棱锥的体积
台体体积
由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台(棱台)的体积公式(过程略)
根据台体的特征，如何求台体的体积？
棱台（圆台）的体积公式
其中 , 分别为上、下底面面积，h为棱台（圆台）的高．
分别为上、下底面面积，h 为台体高
S为底面面积，
h为锥体高
S为底面面积，
h为柱体高
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
公式有它的统一性.
【提升总结】
例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm3）六角螺帽共重5.8 kg，已知底面是正六边形，边长为12 mm，内孔直径为10 mm，高为10 mm，问这堆螺帽大约有多少个（π取3.14，可用计算器）？
知识应用
【解析】六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即
所以螺帽的个数为5.8×1000÷（7.8×2.956）≈
252（个）.
答：这堆螺帽大约有252个．
1.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为( )
A.48+ B.48+
C.36+ D.36+
A
【解析】选A.由三视图得棱锥如图所示，
AO⊥底面BCD，O是BD的中点，BC=CD=6，
BC⊥CD，AO=4，AB=AD.
S△BCD= ×6×6=18,
S△ABD= ×6 ×4=12 .
取BC的中点E，连接AE，OE.
可得BC⊥AE，AE=
所以S△ABC=S△ACD= ×6×5=15,
所以S全=18+12 +15+15=48+12 .
2.（2012·新课标全国卷）如图所示：
网格纸上小正方形的边长为1，
粗线画出的是某几何体的三视
图，则此几何体的体积为（ ）
A.6 B.9
C.12 D.18
【解析】选B.由题意知，此几何体是三棱锥，其高h=3，相应底面面积为S= ，
B
D
5.（2012·上海高考）若一个圆锥的侧面展开图是面积
为2的半圆面,则该圆锥的体积为_________ .
柱体、锥体、台体的表面积
转化的思想
柱体、锥体、台体的体积
联系的观点
不能把希望叫做白日做梦，也不能把白日之梦叫做希望。