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1.2 空间几何体的三视图和直观图
第一课时 投影与三视图
物体在阳光或灯光照射下,就会在地面或墙壁上产生影子,这就是投影,如图所示:
投射线
投影
投影面
投射中心
投影法分类
1. 中心投影法
光由一点向外散射形成的投影。如图,投射线汇交于投影中心,此时三角板的投影不反映其真实形状和大小。
2. 平行投影法如图
把一束平行光线照射下形成的投影,称为平行投影法。此时投影线是平行的。
(1)斜投影法 投射线倾斜于投影面的平行投影法
(2)正投影法 投射线正对于投影面的平行投影法。 正投影能反映三角板的真实形状和大小。(图)
图2-1 中心投影法
(a)斜投影法
图2-2 平行投影法
(b)正投影法
三视图的形成
物体向投影面投影所得到的图形称为视图。
如果物体向三个互相垂直的投影面分别投影,所得到的三个图形摊平在一个平面上,则就是三视图。
正视图:光线从几何体的前面向后面正投影,得到投影图(或主视图)。
侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影,得到投影图(或左视图)。
俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影,得到投影图。
正视图
俯视图
侧视图
三视图
正视图
俯视图
侧视图
三视图展开图
在正视图、俯视图上都体现形体的长度,且长度在竖直方向上是对正的,我们称之为长对正。
正视图
俯视图
侧视图
三视图
展开图
在正视图、侧视图上都体现形体的高度,且高度在水平方向上是平齐的,我们称之为高平齐。
正视图
俯视图
侧视图
三视图
展开图
在侧视图、俯视图上都体现形体的宽度,且是同一形体的宽度,是相等的,我们称之为宽相等。
三视图的投影规律
物体有长、宽、高三个方向的尺寸。如果把物体左右方向的尺寸称为长,前后方向的尺寸称为宽,上下方向的尺寸称为高,则正、俯视图都反映了物体的长,正、侧视图都反映了物体的高度,俯、侧视图反映了物体的宽度。因此,三视图存在着以下投影关系:
正、俯视图长对正
正、侧视图高平齐
俯、侧视图宽相等
上述正、俯、侧三个视图之间的关系,通常称为“长对正、高平齐、宽相等”的三等关系,不仅适用于整个物体的投影,也适用于物体上每个局部结构的投影。
思考1:圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么?
思考2:球的三视图是什么?下列三视图表示一个什么几何体?
例1 如图是一个倒置的四棱柱的两种摆放,试分别画出其三视图,并比较它们的异同.
下图中的三视图表示下面那个几何体?
侧视图
俯视图
你能根据下面的三视图画出它的原立体图形吗?
正视图
俯视图
左视图
原图形
思考:下图中的三视图表示那个几何体?
下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的( )
① 正方体
②圆锥
③三棱台
④正四棱锥
② ④
例1:如图所示,将一个长方体截去一部分,这个几何体的三视图是什么?
例2:观察下列两个实物体,它们的结构特征如何?你能画出它们的三视图吗?
例3:如图,桌子上放着一个长方体和一个圆柱,若把它们看作一个整体,你能画出它们的三视图吗?
思考1:下列两图分别是两个简单组合体的三视图,想象它们表示的组合体的结构特征,并画出其示意图.
思考2:下列两图分别是两个简单组合体的三视图,想象它们表示的组合体的结构特征,并作适当描述.
1.2 空间几何体的三视图和直观图
第一课时 空间几何体的直观图
知识探究(一):水平放置的平面图形的画法
思考1:把一个矩形水平放置,从适当的角度观察,给人以平行四边形的感觉,如图.比较两图,其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化?哪些没有发生变化?
思考2:画一个水平放置的平面图形的直观图,关键是确定直观图中各顶点的位置,我们可以借助平面坐标系解决这个问题. 那么在画水平放置的直角梯形的直观图时应如何操作?
思考3:你能用上述方法画水平放置的正六边形的直观图吗?
思考4:上述画水平放置的平面图形的直观图的方法叫做斜二测画法,你能概括出斜二测画法的基本步骤和规则吗?
(1)建坐标系,定水平面;
(3)水平线段等长,竖直线段减半.
(2)与坐标轴平行的线段保持平行;
知识探究(二):空间几何体的直观图的画法
思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观图,可用斜二测画法或椭圆模板画出一个底面,我们能否再用一个坐标确定底面外的点的位置?
思考2:怎样画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图?
思考3:怎样画底面是正三角形,且顶点在底面上的投影是底面中心的三棱锥?
M
思考4:画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤进行?
画轴
例 如图,一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形,它的底角为45°,两腰和上底边长均为1,求这个平面图形的面积.
思考5:已知一个几何体的三视图如下,这个几何体的结构特征如何?试用斜二测画法画出它的直观图.