高一数学期中复习
集合结构图
练习
1.集合A={1,0,x},且x2∈A,则x＝ 。
-1
B
3
设集合 A = { x | －1≤ x ＜ 2 }，B = { x | x ＜ a }，若 A∩B ≠Φ，则
a 的取值范围是 A，a＜2 B，a＞－2 C，a＞－1 D，－1＜a≤2
由图看出 a ＞－1
思考：1、改A = [－1，2 )
2、改 A = { x | x 2 －x －2 ≤ 0 }
4、改 A∩B =Φ
5、改 A∩B =A
6、改 B = { x | 1 ＜x ＜a }
a ≤－1
a ≥2
当 a ≤1 时 B = Φ，不满足题意
当 a ＞1 时，B = ( 1 , a )，满足题意
故 a > 1
已知集合A = { a | 二次方程 x 2 －2x + a = 0 有实根，a ∈R }，
B = { a | 二次方程 ax 2 －x + 2 = 0 无实根，a ∈R }，求 A∩B，A∪B。
解：由 x 2 －2x + a = 0 有实根
∴ △ ≥ 0
即 4 －4a ≥ 0
∴ A = ( － ∞ , 1 ]
由 ax 2 －x + 2 = 0 无实根
∴ △ ＜ 0
即 1－8a ＜ 0
A∪B = R
函数概念及性质结构图
1、已知函数f (x)=
x+2, (x≤－1)
x2, (－1＜x＜2)
2x, ( x≥2 )
若f(x)=3, 则x的值是( )
A. 1
B. 1或
C. 1, ,
D.
D
信函质量(m)/g
邮资(M)/元
0.80
1.60
2.40
3.20
4.00
2、 国内跨省市之间邮寄信函,每封
信函的质量和对应的邮资如下表:
请画出图像,并写出函数的解析式.
问题探究
解
邮资是信函质量的函数, 其图像
如下:
函数f (x)在给定区间上为增函数。
如何用x与 f(x)来描述上升的图象？
如何用x与 f(x)来描述下降的图象？
函数f (x)在给定区间上为减函数。
证明：
设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则
f（x）在定义域上是减函数吗？
减函数
例1：判断函数f(x)=1/x在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数？并证明你的结论。
解：
函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函数.
下面给予证明：
设x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2
∴函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函数.
例2：证明函数f(x)=x2+1在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数？并给予证明。
练习
已知函数 y = | x 2 －x |，
( 1 ) 作出函数的草图；( 2 ) 写出函数的单调区间。
解
解：设 －∞ ＜ x 1 ＜ x 2 ＜ 0
则 0 ＜ －x 2 ＜ －x 1＜ + ∞
∵ f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
∴ f (－x 1 ) ＜ f (－x 2 )
又 ∵ f ( x ) 在 (－∞ ， 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) 上是奇函数
∴ －f ( x 1 ) ＜－ f ( x 2 )
又F ( x 1 ) － F ( x 2 )
∵ f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ ) 上有 f ( x ) ＜ 0 且 －∞ ＜ x 1 ＜ x 2 ＜ 0
∴ f ( x 1 ) = －f (－x 1 ) ＞ 0， f ( x 2 ) = －f (－x 2 ) ＞ 0
又 ∵ f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )
∴ F ( x 1 ) － F ( x 2 ) ＜0
即 F ( x 1 ) ＜ F ( x 2 )
故 F ( x ) 在(－∞ ， 0 ) 上是增函数
关于原点对称
关于y轴对称
奇函数
偶函数
O
O
函数奇偶性的定义：
如果对于函数f（x）的定义域内任意的一个x，都有：
（1）f（－x）= － f（x），则称 y =f（x）为奇函数
（2）f（－x）= f（x），则称 y =f（x）为偶函数
注：1、奇、偶函数的定义域一定关于原点对称。
判断下列函数的奇偶性
定义域不对称的函数无奇偶性，既不是奇函数也不是偶函数。
注：2、定义域对称的零函数，既是奇函数也是偶函数
定义域对称的非零常数函数仅是偶函数，
而零函数既是奇函数又是偶函数
已知 f ( x ) 是奇函数，当 x ≥ 0 时， f ( x ) = x 2 －2x，求当 x ＜ 0 时，
f ( x ) 的解析式，并画出此函数 f ( x ) 的图象。
解：∵ f ( x ) 是奇函数
∴ f (－x ) = －f ( x )
即 f ( x ) = －f (－ x )
∵当 x ≥ 0 时， f ( x ) = x 2 －2x
∴ 当 x ＜ 0 时， f ( x ) = －f (－ x )
= －[ (－x ) 2 －2(－x ) ]
= －( x 2 + 2x )
已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x －3，作出下列函数的图象：
1）y = f ( x ) 2）y = f ( | x | ) 3）y = | f ( x ) |
设f(x)定义域为[0,1],则f(2x+1)的定义域为 。
函数f(x)为定义在R上的奇函数,在(0,+∞)上单调递增,且f(3)=0,则不等式f(x)>0的解集为 。
3
-3
提示：可以描绘大致图形如右
(-3,0) ∪(3, +∞)
基本初等函数
指数函数与对数函数
在R上是增函数
在R上是减函数
在( 0 , + ∞ )上是增函数
在( 0 , + ∞ )上是减函数
(1, 0)
(0, 1)
单调性相同
指数函数与对数函数
B
指数函数与对数函数
若图象C1，C2，C3，C4对应
y=logax, y=logbx, y=logcx, y=logdx,则（ ）
A.0 C.0D
【1/16,1）
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数
（1）图象都过（0，0）点和
（1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值
随x 的增大而增大，即
在（0，+∞)上是增函
数。
（1）图象都过（1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值随
x 的增大而减小，即在
（0，+∞）上是减函数。
（3）在第一象限，图象向上与
y 轴无限接近，向右与 x
轴无限接近。
图象又如何?
函数与方程
？函数在区间（a,b）上有零点，则f(a)f(b)<0
？函数在区间（a,b）上有f(a)f(b)<0，则在区间（a,b）上有零点
×
例：关于 x 的方程 x 2 －( k + 1 )x + 2k = 0 的两根异号，则实数 k 的取值
范围是 ____________________
解： 令 f ( x ) = x 2 －( k + 1 )x + 2k
( －∞ , 0 )
由图可知： f ( 0 ) ＜ 0
例：已知方程(m－１)x2＋mx－１＝０至少有一个正根，求实数m的范围．
解: 若m－１＝０,方程为x－１＝０，x＝１符合条件．
若m－１≠０,设f(x)＝(m－１)x2＋mx－１．
∵ f(０)＝－１≠０， ∴ 方程f(x)＝０无零根．
如方程有异号两实根，则x1x2＝＜０，m＞１．
实际问题
数学模型
数学模型的解
实际问题的解
答
求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用
示意图表示为：
数学模型
函数模型及其应用
解之得