集合结构图
集合
集合含义与表示
集合间关系
集合基本运算
列举法
描述法
图示法
子集
真子集
补集
并集
交集
(1)确定性：集合中的元素必须是确定的.
1.集合中元素的性质:
(2)互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的.
(3)无序性：集合中的元素是没有先后顺序的.
自然数集（非负整数集）：记作 N
正整数集：记作N*或N+
整数集：记作 Z
有理数集：记作 Q
实数集：记作 R
2.常用的数集及其记法
（含0）
（不含0）
ex1.集合A={1,0,x},且x2∈A,则x＝
-1
子集：AB任意x∈A x∈B.
真子集：
AB  x∈A，x∈B，但存在
x0∈B且x0A.
集合相等：A＝B AB且BA.
空集：.
性质：①A，若A非空， 则A.
②AA. ③AB，BCAC.
3.集合间的关系:
子集、真子集个数：
一般地，集合A含有n个元素，
A的非空真子集 个.
则A的子集共有 个;
A的真子集共有 个;
A的非空子集 个;
2n
2n－1
2n-1
2n-2
4.并集:
5.交集:
6.全集:
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.
7.补集:
类比并集的相关性质
并集的性质 交集的性质
知识结构
概念
三要素
图象
性质
指数函数
应用
大小比较
方程解的个数
不等式的解
实际应用
对数函数
第二章
函数的概念
函数的三要素：定义域，值域，对应法则
A.B是两个非空的集合,如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数。
函数的定义域：
使函数有意义的x的取值范围。
求定义域的主要依据
1、分式的分母不为零.
2、偶次方根的被开方数不小于零.
3、零次幂的底数不为零.
4、对数函数的真数大于零.
5、指、对数函数的底数大于零且不为1.
6、实际问题中函数的定义域

例如
一个函数的三要素为：定义域、对应关系和值域，值域是由对应法则和定义域决定的
判断两个函数相等的方法：
1、定义域是否相等
（定义域不同的函数，不是相等的函数）
2、对应法则是否一致
（对应关系不同，两个函数也不同）
例、下列函数中哪个与函数y=x相等
1、已知函数f (x)=
x+2, (x≤－1)
x2, (－1＜x＜2)
2x, ( x≥2 )
若f(x)=3, 则x的值是( )
A. 1
B. 1或
C. 1, ,
D.
D
函数的性质：单调性
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.
一般地，设函数 f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.
3.(定义法)证明函数单调性的步骤:
简单函数的单调性
1、一次函数 y=kx+b
2、二次函数 y=ax^2+bx+c
3、反比例函数 y=k/x
4、指数函数 y=a^x
5、对数函数 y=logax
6、幂函数 y=x^a
证明：
设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则
f（x）在定义域上是减函数吗？
减函数
例1：判断函数f(x)=1/x在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数？并证明你的结论。
练习
已知函数 y = | x 2 －x |，
( 1 ) 作出函数的草图；( 2 ) 写出函数的单调区间。
单调性的应用：
一、函数的奇偶性定义
前提条件：定义域关于数“原点”对称。
1、奇函数 f (-x)= - f (x) 或 f (-x)+f (x) = 0
2、偶函数 f (-x) = f (x) 或f (-x) - f (x) = 0
二、奇函数、偶函数的图象特点
1、奇函数的图象关于原点成中心对称图形。
2、偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。
奇函数里的定值：如果奇函数y=f(x)的
定义域内有0，则f(0)=0.
如果函数的定义域不关于原点对称，则
此函数既不是奇函数，又不是偶函数。
奇函数关于原点对称的两个区间上的
单调性一致；偶函数则相反。
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否
关于原点对称；

②确定f(-x)与f(x)的关系

③作出相应结论：

若f(-x)=f(x) 则f(x)是偶函数

若f(-x)=-f(x) 则f(x)是奇函数.
已知 f ( x ) 是奇函数，当 x ≥ 0 时， f ( x ) = x 2 －2x，求当 x ＜ 0 时，
f ( x ) 的解析式，并画出此函数 f ( x ) 的图象。
解：∵ f ( x ) 是奇函数
∴ f (－x ) = －f ( x )
即 f ( x ) = －f (－ x )
∵当 x ≥ 0 时， f ( x ) = x 2 －2x
∴ 当 x ＜ 0 时， f ( x ) = －f (－ x )
= －[ (－x ) 2 －2(－x ) ]
= －( x 2 + 2x )
例题
基本初等函数
⑴ ar·as=ar+s (a>0,r,s∈Q)；
⑵ (ar)s=ars (a>0,r,s∈Q)；
⑶ (ab)r=ar br (a>0,b>0,r∈Q).
指数幂的运算
7
18
1. 对数的运算性质:
如果 a > 0，a  1，M > 0， N > 0 有：
指数函数
1、定义域 .
2、值域
3、图象
a>1
0R+
y
x
o
1
y
x
o
1
对数函数
1、定义域 .
2、值域
3、图象
a>1
0R+
1
1
指数函数与对数函数
在R上是增函数
在R上是减函数
在( 0 , + ∞ )上是增函数
在( 0 , + ∞ )上是减函数
(1, 0)
(0, 1)
单调性相同
指数函数与对数函数
B
总结：在第一象限，
越靠近y轴，底数就越大
指数函数与对数函数
若图象C1，C2，C3，C4对应
y=logax, y=logbx, y=logcx, y=logdx,则（ ）
A.0 C.0D
规律：在x轴
上方图象自左
向右底数越来
越大！
在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x-1的图象：
（1）图象都过（0，0）点和
（1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值
随x 的增大而增大，即
在（0，+∞)上是增函
数。
（1）图象都过（1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值随
x 的增大而减小，即在
（0，+∞）上是减函数。
（3）在第一象限，图象向上与
y 轴无限接近，向右与 x
轴无限接近。
三、幂函数的性质:
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1);
幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中α的不同而各异.
如果α<0,则幂函数
在(0,+∞)上为减函数。
3.如果α>0,则幂函数
在(0,+∞)上为增函数;
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数,
当α为偶数时,幂函数为偶函数.
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x
叫做函数y=f(x)的零点。
第三章函数与方程
若f(x)是单调函数
函数与方程
？函数在区间（a,b）上有零点，则f(a)f(b)<0
？函数在区间（a,b）上有f(a)f(b)<0，则在区间（a,b）上有零点
如何判断函数零点的个数
如何判断零点所在的区间
？
二分法的步骤
例：关于 x 的方程 x 2 －( k + 1 )x + 2k = 0 的两根异号，则实数 k 的取值
范围是 ____________________
解： 令 f ( x ) = x 2 －( k + 1 )x + 2k
( －∞ , 0 )
由图可知： f ( 0 ) ＜ 0
例：已知方程(m－１)x2＋mx－１＝０至少有一个正根，求实数m的范围．
解: 若m－１＝０,方程为x－１＝０，x＝１符合条件．
若m－１≠０,设f(x)＝(m－１)x2＋mx－１．
∵ f(０)＝－１≠０， ∴ 方程f(x)＝０无零根．
如方程有异号两实根，则x1x2＝＜０，m＞１．
实际问题
数学模型
数学模型的解
实际问题的解
答
求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用
示意图表示为：
数学模型
函数模型及其应用