第一章 集合与函数概念
第二章 基本初等函数Ⅰ
第三章 函数应用
数与形,本是相倚依
焉能分作两边飞
数无形时少直觉
形少数时难入微
数形结合百般好
隔离分家万事休
切莫忘,几何代数统一体
永远联系莫分离
—— 华罗庚
图示法
一、知识结构
一、集合的含义与表示
1、集合：把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合
2、元素与集合的关系：
3、元素的特性：确定性、互异性、无序性
（一）集合的含义
(二)集合的表示
1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，并放在{ }内
2、描述法：用文字或公式等描述出元素的特性，并放在{x| }内
3.图示法 Venn图,数轴
二、集合间的基本关系
1、子集：对于两个集合A，B如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们称A为B的子集.
若集合中元素有n个，则其子集个数为
真子集个数为
非空真子集个数为
2、集合相等：
3、空集：规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
2n
2n-1
2n-2
三、集合的并集、交集、全集、补集
全集：某集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，用U表示
A
B
0或2
题型示例
考查集合的含义
考查集合之间的关系
考查集合的运算
1
2
3
4
5
3
返回
扩展提升
练习
1.集合A={1,0,x},且x2∈A,则x＝ 。
-1
B
3
函数的复习主要抓住两条主线
1、函数的概念及其有关性质。
2、几种初等函数的具体性质。
函数
函数知识结构
B
C
x1
x2
x3
x4
x5
y1
y2
y3
y4
y5
y6
A
函数的三要素：定义域，值域，对应法则
A.B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数。
一、函数的概念：
思考:函数值域与集合B的关系
二、映射的概念
设A,B是两个非空的集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y于之对应,那么就称对应f:A→B为集合A到集合B的一个映射
映射是函数的一种推广,本质是:任一对唯一
函数的定义域：
使函数有意义的x的取值范围。
求定义域的主要依据
1、分式的分母不为零.
2、偶次方根的被开方数不小于零.
3、零次幂的底数不为零.
4、对数函数的真数大于零.
5、指、对数函数的底数大于零且不为1.
6、实际问题中函数的定义域
（一）函数的定义域
1、具体函数的定义域
1.【-1,2）∪（2，+∞）
2.（-∞，-1）∪（1，+∞）
3.（3∕4,1】
练习：
2、抽象函数的定义域
1）已知函数y=f(x)的定义域是[1，3]，求f(2x-1)的定义域
2）已知函数y=f(x)的定义域是[0，5)，求g(x)=f(x-1)- f(x+1)的定义域
1.[1,2] ; 2.[1,4); 3. [- ]
思考：若值域为R呢？
分析：值域为R等价为真数N能取（0，+∞）每个数。
当a=0时，N=3只是（0，+∞）上的一个数，不成立；
当a≠0时，真数N取（0，+∞）每个数即
求值域的一些方法：
1、图像法，2 、 配方法，3、分离常数法，4、换元法，5单调性法。
1)
2)
3)
4)
三、函数的表示法
1、解 析 法
2、列 表 法
3、图 象 法
例10求下列函数的解析式
待定系数法
换元法
赋值法
构造方程组法
配凑法
增函数、减函数、单调函数是 对定义域上的某个区间而言的。
注意
三、函数单调性
定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1
f(x2) ，那么就说函数在区间上是减函数。区间D叫做函数的减区间。
写出常见函数的单调区间
并指明是增区间还是减区间
用定义证明函数单调性的步骤:
(1) 设元，设x1,x2是区间上任意两个实数，且x1＜x2;
(2) 作差， f(x1)－f(x2) ;
(3)变形，通过因式分解转化为易于判断符号的形式
(4)判号， 判断 f(x1)－f(x2) 的符号；
（5）下结论.
1. 函数f (x)=
2x+1, (x≥1)
４－x, (x＜1)
则f (x)的递减区间为( )
A. [1, ＋∞)
B. (－∞, 1)
C. (0, ＋∞)
D. (－∞, 0]
B
2、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间[4,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围
3 判断函数 的单调性。
拓展提升复合函数的单调性
复合函数的单调性
复合函数的单调性由两个函数共同决定；
引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
x增→ g(x)增 →y增:故可知y随着x的增大而增大
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
x增→ g(x)减 →y增:故可知y随着x的增大而增大
复合函数的单调性
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。 “同增异减”
复合函数的单调性
例题：求下列函数的单调性y=log4(x2－4x+3)
解 设 y=log4u（外函数）,u=x2－4x+3（内函数）.由 u＞0, u=x2－4x+3，解得原复合函数的定义域为{x|x＜1或x＞3}.
当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x∈(3，±∞)时，u=x2－4x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
解：设u=x2－4x+3 ，u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＜2 (u减)
解得x＜1.所以x∈(－∞，1)时，函数u单调递减.
由于y=log4u在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x－2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.
u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＞2 (u增)
解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
代数解法：
解: 设 y=logu,u=2x－x2.由u＞0,u=2x－x2
解得原复合函数的定义域为0＜x＜2.
由于y=log13u在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数 u=2x－x2的单调性正好相反.易知u=2x-x2=-(x－1)2+1在x≤1时单调增. 由 0＜x＜2 （复合函数定义域）
x≤1，(u增)
解得0＜x≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间.
又u=－(x－1)2+1在x≥1时单调减，由
x＜2， (复合函数定义域)
x≥1， (u减) 解得0≤x＜2,所以[0，1＝是原复合函数的单调增区间.
例2 求下列复合函数的单调区间：
y=log(2x－x2)
复合函数的单调性小结
复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：
(1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数;
(2) 确定函数的定义域；
(3) 分别确定分解成的两个函数的单调性；
(4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为增函数；
(5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为减函数。
复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。
四、函数的奇偶性
3.奇函数和偶函数的必要条件:
注:要判断函数的奇偶性,首先要看其定义域区间是否关于原点对称!
定义域关于原点对称.
奇(偶)函数的一些特征
1.若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则 f(0)=0.
2.奇函数图像关于原点对称,且在对称的区间上不改变单调性.
3.偶函数图像关于y轴对称,且在对称的区间上改变单调性
例12 判断下列函数的奇偶性
函数的图象
1、用学过的图像画图。
2、用某种函数的图象变形而成。
（1）关于x轴、y轴、原点对称关系。
（2）平移关系。
（3）绝对值关系。
反比例函数
1、定义域 .
2、值域
3、图象
k>0
k<0
二次函数
1、定义域 .
2、值域
3、图象
a>0
a<0
指数函数
1、定义域 .
2、值域
3、图象
a>1
0R+
y
x
o
1
y
x
o
1
对数函数
1、定义域 .
2、值域
3、图象
a>1
0R+
1
1
在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x-1的图象：
(-∞,0)减
(-∞,0]减
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
公共点
(0,+∞)减
增
增
[0,+∞)增
增
单调性
奇
非奇非偶
奇
偶
奇
奇偶性
{y|y≠0}
[0,+∞)
R
[0,+∞)
R
值域
{x|x≠0}
[0,+∞)
Ｒ
Ｒ
Ｒ
定义域
y=x-1
y=x3
y=x2
y=x
函数
性质
幂函数的性质
2
1
x
y
=
对号函数 (a>0)
的性质及应用
.函数 (a>0)的大致图像
x
y
0
获取新知
利用所掌握的函数知识,探究函数 (a>0)的性质.
1. 定义域
2.奇偶性
(-∞,0) ∪(0 ,+∞)
奇函数 f(-x)=-f(x)
3.确定函数 (a>0)的单调区间
⑴. 当x∈ (0 ,+∞)时,确定某单调区间
⑵. 当x∈ (-∞,0)时,确定某单调区间
综上,函数 (a>0)的单调 区间是
单调区间的分界点为:
a的平方根
4.函数 (a>0)的大致图像
x
y
0
5.函数 (a>0)的值域
运用知识
1.已知函数
2.已知函数 ,求f(x)的最小值,并 求此时的x值.
3.建筑一个容积为800米3,深8米的长方体水池(无盖).池壁,池底造价分别为a元/米2和2a元/ 米2.底面一边长为x米,总造价为y.
写出y与x的函数式,问底面边长x为何值时总造价y最低,是多少?
函数图象与变换
1．平移变换
(1)水平方向的变换：
y＝f(x＋a)的图象可由y＝f(x)的图象沿x轴向左平移(a>0)或向右平移(a<0)|a|个单位而得到．
(2)竖直方向的变换：
y＝f(x)＋b的图象可由y＝f(x)的图象沿y轴向上平移(b>0)或向下平移(b<0)|b|个单位而得到．
2．对称变换
(1)y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．
(2)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称．
(3)y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
(4)y＝|f(x)|的图象是保留y＝f(x)图象中位于x轴上方的部分及与x轴的交点，将y＝f(x)的图象中位于x轴下方的部分翻折到x轴上方去而得到．
(5)y＝f(|x|)的图象是保留y＝f(x)中位于y轴右边部分及与y轴的交点，去掉y轴左边部分而利用偶函数的性质，将y轴右边部分以y轴为对称轴翻折到y轴左边去而得到．
(2)先作函数y＝x2－2x的位于x轴上方的图象，再作x轴下方图象关于x轴对称的图象，得函数y＝|x2－2x|的图象，如图所示．
(3)先作函数y＝x2－2x位于y轴右边的图象，再作关于y轴对称的图象，得到函数y＝x2－2|x|的图象，如图所示．
例 作函数的图象
y
x
o
1
1
抓住函数中的某
些性质，通过局
部性质或图象的
局部特征，利用
常规数学思想方
法（如类比法、
赋值法添、拆项 等）。
高考题和平时的
模拟题中经常出
现 。
抽象性较强；
综合性强；
灵活性强；
难度大。
没有具体给出函
数解析式但给出
某些函数特性或
相应条件的函数
抽象函数问题
一、研究函数性质“赋值” 策略 对于抽象函数，根据函数的概念和性质，通过观察与分析，将变量赋予特殊值，以简化函数，从而达到转化为要解决的问题的目的。
(1)令x=…,-2,-1,0,1,2,…等特殊值求抽象函数的函数值；
(3)令y=-x,判断抽象函数的奇偶性；
(4)换x为x+T,确定抽象函数的周期；
证明：
二、求参数范围“穿脱”策略 加上函数符号即为“穿”，去掉函数符号即为“脱”。对于有些抽象函数，可根绝函数值相等或者函数的单调性，实现对函数符号的“穿脱”，以达到简化的目的。
一、一次函数模型:f(x+y)=f(x)+f(y)
解：
解法2：
解：
二. 指数函数模型:f(x+y)=f(x)•f(y)
证明：
三. 对数函数模型：f(x•y)=f(x)+f(y)
解：
内容小结
以上列举了求解抽象型函数问题的常规解题思想，当然对于用常规思想难以解决的 数学问题，若利用一些特殊的数学思想方法求解，如合理赋值、类比联想;添、拆项;归纳猜想等等。处理这类问题时，常需将几种解题思想综合运用，"多管齐下"。通过抽象型函数问题的解题思想的探求，提高解题能力，培养思维的灵活性，最终达到创新思想的培养。
