函数的应用
第三章
1.1.1　集合的概念
3.2　函数模型及其应用
第三章
1.1.1　集合的概念
3.2.2　函数模型的应用实例
第三章
●课标展示
1．初步体会应用一次函数、二次函数、幂函数模型解决实际问题．
2．体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题．
●温故知新
旧知再现
1．常见的函数模型
(1)正比例函数模型：f(x)＝____(k为常数，k≠0)；
(2)反比例函数模型：f(x)＝____(k为常数，k≠0)；
(3)一次函数模型：f(x)＝________(k，b为常数，k≠0)；
(4)二次函数模型：f(x)＝____________(a，b，c为常数，a≠0)；
kx
kx＋b
ax2＋bx＋c
(5)指数函数模型：f(x)＝a·bx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；
(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；
(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠R)．
答案：B
解析：由x＝0时，y＝1，排除D；由f(－1.0)≠f(1.0)，排除C；由函数值增长速度不同，排除A，故选B.
新知导学
函数模型的应用
(1)用已知的函数模型刻画实际问题；
(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．其基本过程如图所示．
[名师点拨]　巧记函数建模过程；
收集数据，画图提出假设；
依托图表，理顺数量关系；
抓住关键，建立函数模型；
精确计算，求解数学问题；
回到实际，检验问题结果．
●自我检测
1．一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　　)

A．一次函数模型　　　 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
[答案]　A
[答案]　4.9
为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如图所示．
一次函数模型问题
●典例探究
(1)分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式；
(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜．
[分析]　由题目可获取以下主要信息：(1)通过图象给出函数关系，(2)函数模型为直线型，(3)比较两种函数的增长差异．解答本题可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数值大小的比较．
规律总结：本题中的图形为直线，这说明变量x，y之间存在一次函数关系，为此可采取待定系数法，求出具体的函数关系式，最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得以解决．图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息，运用合理的方法解决问题．
一个茶壶20元，一个茶杯5元，①买一个茶壶送一个茶杯，②按购买总价的92%付款．某顾客购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数x个，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法中，y与x的函数关系式，并指出如果该顾客需要购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法？
[解析]　由优惠办法(1)得函数关系式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N*)．
由优惠办法(2)得函数关系式为y2＝(20×4＋5x)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，x∈N*)．
当该顾客购买茶杯40个时，采用优惠办法(1)应付款y1＝5×40＋60＝260元；采用优惠办法(2)应付款y2＝4.6×40＋73.6＝257.6元，由于y2二次函数模型问题与函数的图象
医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经验测，病毒细胞的总数与天数的数据记录如下表.
指数型、对数型函数模型应用举例
已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候，小白鼠将会死亡．如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物(答案精确到天，lg2＝0.3010)?
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命(只列出相关的关系式即可，不要求求解)?
[解析]　(1)由题意知，病毒细胞个数y关于天数t的函数关系式为y＝2t－1(t∈N＋)．
则由2t－1≤108两边取常用对数，得(t－1)lg2≤8，解得t≤27.6.即第一次最迟应在第27天注射该种药物．
(2)由题意知，注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%，
再经过x天后小白鼠体内病毒细胞个数为226×2%×2x.
由题意，得关系式226×2%×2x≤108.
226·2·2x≤1010，两边取常用对数得(27＋x)lg2≤10，解得x≤7.2，
即第一次注射该种药物后的8天第二次注射该种药物．
规律总结：指数函数的应用型问题已经进入各级各类考试中，一般地，在读懂题意的基础上，提炼指数函数模型，在解决实际问题中，涉及运算问题常转化为对数运算问题，要求同学们有一定的运算能力．
某公司拟投资100万元，有两种投资可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)
[分析]　本题主要考查单利和复利的计算，需先分别计算两种投资方式5年后的本息和，再通过比较作答．
[解析]　本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
由此可见，按利率9%每年复利一次计算要比按年利率10%单利计算更有利，5年后多得利息153.86－150＝3.86(万元)．
[点评]　(1)本题是幂函数模型的应用问题．
(2)投资的方式不同，获得的利润就不一样，到底哪一种方式获利大，应用函数的知识计算一下即可得到答案.
经过调查发现，某种新产品在投放市场的100天中，前40天其价格直线上升，而后60天其价格则呈直线下降趋势，现抽取其中4天的价格如下表所示：
分段函数模型问题
[分析]　日销售金额＝日销售量×日销售价格，而日销售量及销售价格(每件)均为t的一次函数，从而日销售金额为t的二次函数，该问题为二次函数模型．
1．一个矩形的周长是40，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为(　　)
A．y＝20－x,0＜x＜10
B．y＝20－2x,0＜x＜20
C．y＝40－x,0＜x＜10
D．y＝40－2x,0＜x＜20
[答案]　A
2．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车进行客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x(x∈N)的关系为y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运多少年可使其营运总利润最大(　　)
A．2 B．4
C．5 D．6
[答案]　D
3．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留一小时后再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，解析式是(　　)
A．x＝60t
B．x＝60t＋50
[答案]　D
4．小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是(　　)
[答案]　D
[答案]　B