§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)
一、新课引入
到目前为止，我们已经学习了哪些常用函数？
一次函数
二次函数
指数函数
对数函数
幂函数
大家首先来看一个例子
邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元，超过5千克的超出部分按每千克3元收费，邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为____．
从中可以知道，函数与现实世界有着紧密的联系，有着广泛应用的，那么我们能否通过更多的实例来感受它们的应用呢？若能的话，那么如何在实际问题中建立函数模型呢？
例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时
间的关系如图3.2-7所示。
(1) 求图3.2-7中阴影部分的
面积，并说明所求面积的
实际含义；
解：(1)阴影部分的面积为
50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路
程为360km
图3.2-7
(2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象。
这个函数的图象如图3.2-8所示
从这个练习我们看到，在解决实际问题的过程
中，图象函数是能够发挥很大的作用，因此，我们
应当注意提高读图的能力。另外，在本题中我们用
到了分段函数，由此我们也知道，分段函数也是刻
画现实问题的重要模型。大家在运用分段函数的时
候要注意它的定义域。那么应该如何解函数的应
用问题呢？
例2.人口问题是当年世界各国普通关注的问题。认识人
口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依
据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然

状态下的人口增长模型：
表3-8是1950～1959年我国的人口数据资料：
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示
人口的年平均增长率。
思考1:我国1951年的人口增长率约为多少？
解：(1)设1951～1959年的人口增长率分别为 r1，
由55196 (1+r1) =56300
可得1951年的人口增长率 r1≈0.0200。
思考2:如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001)那么1951～1959年期间我国人口的年平均增长率是多少？
解：(2)设1951～1959年的人口增长率分别为 r1，
r2，…，r9.
由55196 (1+r1) =56300
可得r1≈0.0200。
同理可得，
r2≈0.0210
r3≈0.0229
r4≈0.0250
r5≈0.0197
r6≈0.0223
r7≈0.0276
r8≈0.0222
r9≈0.0184
于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为
r=（r1+r2+···+r9）÷9≈0.0221
思考3:用马尔萨斯人口增长模型，我国在1950～1959年期间的人口增长模型是什么？
解：(3)令y0=55196，则我国在1950～1959年期间
的人口增长模型为：
思考4:怎样检验该模型与我国实际人口数据是否相符？
解：(4)根据表3-8中的数据作出散点图，
并作出函数的图象（图3.2-9）。
由图3.2-9可以看出，所得模型与1951～1959年的实际人口数据基本吻合。
思考5:据此人口增长模型，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
解：(5)将 y=130000代入
由计算器可得
t≈38.76
所以,如果按上表的增长趋势，大约1950年后第39年（即1989年）我国人口就已达到13亿。
我国人口问题知多少?1、我国人口是什么时候达到13亿.
２、我国的实际人口与人口模型得出的结果不一致的原因是什么？
２００５年１月６日零点２分，中国第１３亿个公
民在北京妇产医院出生，这一天也成为“中国１３亿人口
日”。这个小公民为男性，体重３，６６０克，身长５２
公分.
我国人口的计划生育政策.控制了人口的增长。
从以上的例子可以看到，用已知的函数模型刻画实际问题的时候，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所不同，因此通过模型得出的结果往往会与实际问题存在一定的误差。因此，往往需要对模型进行修正。
练习:某种细菌随时间的变化而迅速地繁殖增加，若在某个时刻这种细菌的个数为200个，按照每小时成倍增长，如下表：
问：实验开始后5小时细菌的个数是多少？
解：设实验时间为x小时，细菌数为y个，依题意有
200＝200×20，
400＝200×21，
800＝200×22，
1600＝200×23．
此实验开始后5小时，即x＝5时，细菌数为
200×25＝6400（个）．
从而，我们可以将细菌的繁殖问题抽象归纳为一个指数函数关系式，即y＝200·2x（x∈N）．
应用函数知识解应用题的方法步骤：
(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键.转化来源于对已知条件的综合分析，归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类。
(2)用相关的函数知识进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解。
(3)把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结做答。
实际问题
数学模型
实际问题 的解
抽象概括
数学模型 的解
还原说明
推理
演算
总结解应用题的策略：
④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为
实际问题的意义．
解决应用题的一般程序是：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，
建立相应的数学模型；
③解模：求解数学模型，得出数学结论；
书面作业
<<教材>>
P.107 习题3.2 A组6