3.1.2 用二分法 求方程的近似解
1、函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
上节回忆
上节回忆
2、如何判断函数y=f(x)在区间[a,b]上是否
有零点?
(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线
(2) f(a)·f(b)<0
思考：区间[a,b]上零点是否是唯一的？
思考二：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么当 f(a)·f(b)>0时，函数y=f(x)在区间（a，b）内一定没有零点吗？
上节回忆
C
练习：
问题:你会解下列方程吗? 2x-6=0; 2x2-3x+1=0; lnx+2x-6=0
求方程根的问题

相应函数的零点问题
你会求方程lnx+2x-6=0的近似解吗?
思路
如何找到零点近似值 ？？
问
可以转化为函数 在区间（2，3）内零点的近似值。
求方程 的近似解的问题
在已知存在零点的区间确定函数的零点的近似值，实际上就是如何缩小零点所在的范围，或是如何得到一个更小的区间，使得零点还在里面，从而得到零点的近似值。
思考：如何缩小零点所在的区间？
看商品，猜价格
游戏规则：
给出一件商品，请你猜出它的准确价格，我们给的提示只有“高了”和“低了”。给出的商品价格在100 ~ 200之间的整数，如果你能在规定的次数之内猜中
价格，这件商品就是你的了。
游戏： “看商品猜价格”，请同学们猜一下下面这部科学计算器(120～200元间)的价格。要求:误差小于1元
探究：你猜这件商品的价格，是如何想的？在误差范围内如何做才能以最快的速度猜中？
（对半猜）
这能提供求确定
函数零点的思路吗
?
思路：用区间两个端点的中点，将区间一分为二……
对于一个已知零点所在区间[a,b],取其中点 c ,计算f(c),如果f(c）=0，那么 c 就是函数的零点；如果不为0，通过比较中点与两个端点函数值的正负情况，即可判断零点是在（a,c)内，还是在（c,b)内，从而将范围缩小了一半，以此方法重复进行……
问题
在区间（2，3）内零点的近似值.
（2.5，2.75）
（2.5，2.5625）
2.5
2.75
2.625
2.5625
（2.5，2.625）
-0.084
0.512
0.215
0.066
1
0.5
0.25
0.125
0.0625
（2.5，3）
区间长度
区间
2.53125
-0.009
（？，？）
…
思考:
通过这种方法,是否可以得到任意精确度的近似值? （如精确度为0.01）
精确度为0.01,即零点值与近似值的差的绝对值要小于或等于0.01
结论
1.通过这样的方法，我们可以得到任意精确度的零点近似值．
2.给定一个精确度，即要求误差不超过某个数如0．01时，可以通过有限次不断地重复上述缩小零点所在区间的方法步骤，而使最终所得的零点所在的小区间内的任意一点，与零点的误差都不超过给定的精确度，即都可以作为零点的近似值．
3.本题中，如在精确度为0．01的要求下，我们可以将区间(2.53125,2.5390625)内的任意点及端点作为此函数在区间(2，3)内的零点近似值．
4.若再将近似值保留两为小数，那么2．53，2．54都可以作为在精确度为0．01的要求下的函数在(2，3)内的零点的近似值．一般地，为便于计算机操作，常取区间端点作为零点的近似值，即2．53125
（2，3）
（2.5，3）
（2.5，2.75）
（2.5，2.5625）
（2.53125，2.5625）
（2.53125，2.546875）
（2.53125，2.5390625）
2.5
2.75
2.625
2.5625
2.53125
2.546875
（2.5，2.625）
2.5390625
2.53515625
-0.084
0.512
0.215
0.066
-0.009
0.029
0.010
0.001
1
0.5
0.25
0.125
0.0625
0.03125
0.015625
0.0078125
(精确度为0.01)
所以我们可将此区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.
如图
所以
所以方程的近似解为
二分法概念
问题5: 你能归纳出“给定精确度ε,用二分法求函数零点近似值的步骤”吗?
二分法的实质:就是将函数零点所在的区间不断地一分为二，使新得到的区间不断变小，两个端点逐步逼近零点．
0
1
2
3
4
6
5
7
8
-6
-2
3
10
21
40
75
142
273
列表
尝试:借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）.
先确定零点的范围；再用二分法去求方程的近似解
绘制函数图像
取（1，1.5）的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈（1.25，1.5）
同理可得， x0∈（1.375，1.5），x0∈(1.375，1.4375），由于
|1.375-1.4375|=0.0625< 0.1
所以，原方程的近似解可取为1.4375
转化思想
逼近思想
小结
二分法
数形结合
1.寻找解所在的区间
2.不断二分解所在的区间
3.根据精确度得出近似解
用二分法求
方程的近似解
基本知识:1. 二分法的定义;
2.用 二分法求解方程的近似解的步骤.
通过本节课的学习,你学会了
哪些知识?
定区间，找中点，
中值计算两边看;
同号去，异号算，
零点落在异号间;
周而复始怎么办?
精确度上来判断.
二分法求方程近似解的口诀:
练习
借助计算器用二分法求
的近似解(精确度0.1).
方程的近似解为
作业
1.课外作业: 课本P92 习题3.1 A 组3,4,5

2.课外搜索:请通过网络、杂志等途径寻找“方程求解”的数学历史.
再见