【点拨】
【提示】
【思考】
1.准确理解“二分法”的含义
二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
二分法概念的理解
【名师指津】
2.使用“二分法”所具备的条件
“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.
【特别提醒】注意使用“二分法”的两个前提条件，缺一不可.
【例1】下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
【审题指导】题目中给出了各个函数的图象，通过图象与x轴的交点，结合二分法的概念以及使用二分法求函数零点的条件，判断是否可以使用二分法.
【规范解答】选B.利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点.由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点.
【变式训练】下面关于二分法的叙述，正确的是 ( )
(A)用二分法可求所有函数零点的近似值
(B)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
(C)二分法无规律可循
(D)只有在求函数零点时才用二分法
【解题提示】利用二分法的概念来进行判断.
【解析】选B. 只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值,故A错.二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错.求方程的近似解也可以用二分法，故D错.
1.用二分法求函数的零点应遵循的原则
首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的零点，又要使其长度尽量小，其次要根据给定的精确度，及时检验所得区间的端点的差的绝对值是否小于精确度(精确到给定的精确度)，以决定是停止还是继续计算.
用二分法求函数零点
【名师指津】
2.用二分法求函数的零点使用的方法
用二分法求函数的零点的近似值，可借助于计算器一步步求解即可，在计算时可借助于表格或数轴清晰地描述逐步缩小零点所在的区间的过程，在区间长度小于精确度ε的时候，运算结束.
【特别提醒】(1)求函数的近似零点时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.
(2)求函数零点的近似值时，由于所选取的起始区间不同，最后得到的结果可以不同，但它们都是符合所给定的精确度的.
【例2】用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间［1,1.5］内的一个零点(精确度0.01).
【审题指导】本题已给出函数表达式和规定的区间求零点，可根据二分法求函数零点的步骤逐次计算缩小区间，直到达到所要求的精确度停止计算，确定出零点的近似值.
【规范解答】经试算f(1)＜0,f(1.5)＞0，所以函数在［1,1.5］内存在零点x0.
取(1，1.5)的中点x1=1.25，经计算f(1.25)＜0，因为f(1.5)·f(1.25)＜0，所以x0∈(1.25,1.5)，
如此继续下去，如下表：
因为|1.328 125-1.320 312 5|=0.007 812 5＜0.01，
所以函数f(x)=x3-x-1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328 125.
【互动探究】若例题改为“判断函数f(x)=x3-x-1在区间［1，1.5］内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)”又如何求解呢？
【解题提示】根据函数零点的存在性定理先判断出有无零点，若有，再根据二分法求函数零点的步骤逐次计算缩小区间，直到达到所要求的精确度停止计算，确定出零点的近似值.
【解析】因为f(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0,且函数y=x3-x-1的图象是连续的曲线，所以它在区间［1,1.5］内有零点，用二分法逐步计算，列表如下：
由于|1.375-1.312 5|=0.062 5<0.1,
所以函数的一个近似零点为1.312 5.
【例】用二分法求函数y=x3-3的一个正零点(精确度0.01).
【审题指导】本题给出了具体的函数，可转化为求方程的解，利用二分法，需先选定初始区间，用二分法逐次计算，考虑精确度,确定出零点.
【规范解答】由于f(1)=-2＜0，f(2)=5＞0，因此可取区间［1，2］作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，见下表
从表中可知|1.445 312 5-1.437 5|=0.007 812 5＜0.01,
所以函数y=x3-3的一个正零点可近似取
1.445 312 5.
【变式备选】求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正零点(精确度0.1).
【解题提示】先找一个两端点函数值符号相反的区间，然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要求的精确度停止计算，最后确定要求的近似值.
【解析】由于f(1)=-2<0,f(2)=6>0,故可取区间［1，2］作为计算的初始区间.
用二分法逐步计算，列表如下：
由上表计算可知|1.437 5-1.375|=0.062 5＜0.1，故可取1.437 5作为函数f(x)正零点的近似值.
求方程近似解的常用方法
对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求解.
用二分法求方程的近似解
【名师指津】
【例3】求方程x2=2x+1的一个近似解(精确度0.1).
【审题指导】本题给出了方程的具体表达形式，求其近似解，可利用转化思想，构造函数，转化成求函数的零点近似值.
【规范解答】设f(x)=x2-2x-1.
∵f(2)=-1＜0，f(3)=2＞0,
∴在区间(2，3)内，方程x2-2x-1=0有根，记为x0.
取2与3的平均数2.5，
∵f(2.5)=0.25>0, ∴2再取2与2.5的平均数2.25，
∵f(2.25)=-0.437 5<0,∴2.25如此继续下去，有f(2.375)＜0,
f(2.5)＞0 x0∈(2.375,2.5)；
f(2.375)＜0,
f(2.437 5)＞0 x0∈(2.375,2.437 5)
∵|2.375-2.437 5|=0.062 5＜0.1,
∴方程x2=2x+1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.
【变式训练】求方程x3=-2x2+3x+6的一个正数近似解(精确度0.1).
【解题提示】由已知，计算f(0),f(1),f(2)，得到解所在区间，再利用二分法求解.
【解析】令f(x)=x3+2x2-3x-6,
又∵f(0)=-6＜0，f(1)=-6＜0,f(2)=4＞0,
∴取区间(1，2)作为计算的初始区间.
用二分法逐步计算，列表如下：

由上表可知1.75-1.687 5=0.062 5<0.1，故可取1.75作为原方程的正数近似解.
【典例】(12分)用二分法求 的近似值(精确度0.1).
【审题指导】本题要求 的近似值,可首先把 确定为某
方程的解,再用二分法求方程的解的近似值.
【规范解答】设 则x2=5，即x2-5=0,
令f(x)=x2-5.
因为f(2.2)=-0.16＜0.……………………………………2分
f(2.4)=0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，
说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0, …………4分
取区间(2.2，2.4)的中点x1=2.3，则f(2.3)=0.29.……6分
因为f(2.2)·f(2.3)＜0,
∴x0∈(2.2,2.3)…………………………………………8分
再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25,
f(2.25)=0.062 5.
因为f(2.2)·f(2.25)＜0,
所以x0∈(2.2,2.25).……………………………………10分
由于|2.25-2.2|=0.05＜0.1,
所以 的近似值可取为2.25. …………………………12分
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
【即时训练】求 的近似值(精确度0.01) .
【解题提示】本题是求无理数的近似值，解答本题时，可将该无理数看成某个方程的根，用二分法逼近求得.
【解析】设 则x3=2，即x3-2=0,
令f(x)=x3-2,则函数f(x)的零点的近似值就是 的近似
值，以下用二分法求其零点.
由f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取区间［1，2］为计算的初
始区间.
用二分法逐步计算，列表如下：
由于|1.265 625-1.257 812 5|=0.007 812 5<0.01,所以
1.265 625是函数的零点的近似值，即 的近似值可取
1.265 625.
1.下列函数中不能用二分法求零点的是( )
(A)f(x)=2x+3
(B)f(x)=lnx+2x-6
(C)f(x)=x2-2x+1
(D)f(x)=2x-1
【解析】选C.因为f(x)=(x-1)2≥0，即含有零点的区间［a,b］不满足f(a)·f(b)＜0.
2.方程x5-x-1=0的一个正零点所在的区间可能是( )
(A)［0，1］ (B)［1,2］
(C)［2,3］ (D)［3，4］
【解析】选B.令f(x)=x5-x-1，
f(0)=-1＜0,f(1)=-1＜0,f(2)=29＞0，
f(3)＞0,f(4)＞0,
∴零点在［1,2］内.
3.设函数y=x2与 的图象的交点为(x0,y0)，则x0所
在的区间是( )
(A)(0,1) (B)(1,2)
(C)(2,3) (D)(3,4)
【解析】选B.令
则f(0)=-4＜0,f(1)=-1＜0,f(2)=3＞0,
f(3)>0,f(4)>0,
∴f(x)的零点在区间(1,2)内，
即函数y=x2与 的图象的交点的横坐标x0∈(1,2).
4.在用二分法求方程f(x)=0在［0,1］上的近似解时，经计算，f(0.625)＜0，f(0.75)＞0，f(0.687 5)＜0,即得到方程的一个近似解为______.(精确度0.1)
【解析】因为|0.75-0.687 5|=0.062 5＜0.1，
所以0.75或0.687 5都可作为方程f(x)=0的一个近似解.
答案：0.75或0.687 5
5.用二分法求方程x3-8=0在区间(2，3)内的近似解经过几次二分后精确度能达到0.01?
【解析】区间(2，3)的长度为1，当7次二分后区间长度为

故经过7次后精确度能达到0.01.