3.1.2 用二分法求方程的近似解
一、二分法的概念
1.满足的条件
(1)函数y=f(x)在区间［a,b］上_________.
(2)在区间端点的函数值满足______________.
连续不断
f(a)·f(b)＜0
2.操作过程
把函数f(x)的零点所在的区间_________,使区间的两个端点逐
步_________,进而得到零点的近似值.
思考：已知函数y=f(x)在区间(2,3)内有零点,采用什么方法
能进一步有效缩小零点所在的区间?
提示：可采用“取中点”的办法逐步缩小零点所在的区间.
一分为二
逼近零点
二、二分法求函数零点近似值的步骤
f(a)·f(b)＜0
b
a
(a,c)
(c,b)
a(或b）
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有函数的零点都可以用二分法来求.( )
(2)函数f(x)=|x|可以用二分法求其零点.( )
(3)二分法只可用来求函数的零点.( )
提示：(1)错误.利用二分法求函数的零点必须满足函数图象在零点附近连续不断且零点两侧函数值异号.
(2)错误.函数f(x)=|x|有零点是0，但该函数零点的两侧函数值都大于零，同号，故不能用二分法求零点.
(3)错误. 二分法也可以用来求方程的近似解.
答案：(1)× (2)× (3)×
【知识点拨】
1.二分法的实质
二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,逐步逼近零点的方法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.理解二分法的概念时要注意的两点
(1)二分法是求函数零点近似值的一种方法，根据题目要求的精确度，只需进行有限次运算即可.
(2)它的依据是函数零点的判定定理，即根的存在性定理.
3.用二分法求函数零点的近似值的两个关键点
(1)初始区间的选取，既符合条件(包含零点)，又要使其长度尽量小(关键词：选初始区间).
(2)进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算(关键词：判断精确度).
4.二分法在求方程近似解中的应用
(1)根据函数的零点与相应方程解的关系,求函数的零点与求相应方程的解是等价的,所以求方程f(x)=0的近似解,可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.
(2)对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通过移项转化为求函数F(x)=f(x)-g(x)的零点的近似值,然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解.
类型 一 对二分法概念的理解
【典型例题】
1.下面关于二分法的叙述，正确的是( )
A.用二分法可求所有函数零点的近似值
B.用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C.二分法无规律可循
D.只有在求函数零点时才用二分法
2.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )
【解题探究】1.二分法的实质是什么？
2.函数具有零点与该函数的图象有何关系？
探究提示：
1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,逐步逼近零点的方法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.函数有零点，则对应该函数图象与x轴有交点.
【解析】1.选B.只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错，二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错，求方程的近似解也可以用二分法，故D错.
2.选A.由图象可得A中零点左侧与右侧的函数值符号不同，故可用二分法求零点.
【拓展提升】运用二分法求函数零点需具备的两个条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右函数值异号.
【变式训练】对于二分法求得的近似解，精确度ε说法正确的是( )
A.ε越大，零点的精确度越高
B.ε越大，零点的精确度越低
C.重复计算次数就是ε
D.重复计算次数与ε无关
【解析】选B.由精确度ε定义知，ε越大，零点的精确度越低.
类型 二 用二分法求函数的零点
【典型例题】
1.已知f(x)＝ －lnx在区间(1,2)内有一个零点x0，若用二
分法求x0的近似值(精确度0.2)，则最多需要将区间等分的次
数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的一个负零点(精确度为0.01).
【解题探究】1.在用二分法求函数的零点时，将选取的初始区间等分的次数由哪个因素决定？
2.给定精确度ε, 用二分法求函数f(x)的零点的初始区间是唯一的吗？
探究提示：
1.由所要求的精确度决定.
2.给定精确度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的初始区间不是唯一的，所选的初始区间可以大些，也可以小些，虽然初始区间不同，最后结果不同，但都符合给定的精确度.
【解析】1.选A.由用二分法求函数零点近似值的步骤可知分
一次f( )＞0，区间长度|2- |=0.5＞0.2，
分二次，f( )＞0，区间长度|2- |=0.25＞0.2，
分三次f( )＜0,区间长度
所以最多分三次可以使x0的近似值达到精确度0.2.
2.确定一个包含负数零点的区间(m，n)，且f(m)·f(n)<0.因为f(-1)>0，f(-2)<0，所以存在x0∈(-2，-1)，使f(x0)=0，所以可以取区间(-2，-1)作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：
由于|-1.929 687 5+1.937 5|=0.007 812 5<0.01,
∴函数的一个负零点近似值为-1.929 687 5.
【互动探究】若题2已知函数不变，“试判断函数f(x)在
［-2,-1］内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度为0.1)”，又如何求解呢？
【解题指南】根据函数零点的存在性定理先判断出有无零点，若有，再根据二分法求函数零点的步骤逐次计算缩小区间，直到达到所要求的精确度停止计算，确定出零点的近似值.
【解析】因为f(-1)>0，f(-2)<0，且函数f(x)=x3-3x2-9x+1的图象是连续不断的，根据函数零点的判断方法可知，它在区间［-2,-1］内有零点，用二分法逐步计算，列表如下：
由于|-1.875+1.937 5|=0.062 5<0.1，所以函数在区间
［-2,-1］内的一个近似零点为-1.937 5.
【拓展提升】
1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间［m,n］ (一般采用估计值的方法完成).
(2)取区间端点的平均数c,计算f(c),确定有解区间是［m,c］还是［c,n］,逐步缩小区间的“长度”,直到区间的两个端点符合精确度要求,终止计算,得到函数零点的近似值.
2.二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点；中值计算两边看.
同号丢，异号算，零点落在异号间.
重复做，何时止，精确度来把关口.
类型 三 用二分法求方程的近似解
【典型例题】
1.设f(x)=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0,f(1.5)＞0,f(1.25)＜0,则方程的根落在区间( )
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2) D.不能确定
2.借助计算器，用二分法求出ln(2x+6)+2=3x在区间(1，2)内的近似解(精确度0.2).
【解题探究】1.方程f(x)=0在区间［a,b］内有解应具备什么条件？
2.是否可按照用二分法求函数零点近似值的步骤来求方程f(x)=0的近似解？
探究提示：
1.方程f(x)=0所对应的函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线并且f(a)·f(b)＜0.
2.可以按照用二分法求函数零点近似值的步骤来求方程f(x)=0的近似解.
【解析】1.选B.∵f(1.25)·f(1.5)＜0,
∴方程的根在区间(1.25,1.5)内.
2.原方程即ln(2x+6)-3x+2=0.令f(x)=ln(2x+6)-3x+2，用计算器做出如下对应值表
观察上表，可知零点在(1，2)内,取区间中点x1=1.5，
且f(1.5)≈-1.00，从而可知零点在(1，1.5)内；
再取区间中点x2=1.25，且f(1.25)≈0.20，
从而可知零点在(1.25，1.5)内；
同理取区间中点x3=1.375，且f(1.375)＜0，
从而可知零点在(1.25，1.375)内.
由于|1.375-1.25|=0.125＜0.2，所以原方程的近似解可取为1.3.
【拓展提升】二分法的记忆口诀
函数连续值两端，相乘为负有零点，
区间之内有一数，方程成立很显然.
要求方程近似解，先看零点的区间，
每次区间分为二，分后两端近零点.
【变式训练】用二分法求方程x3-2x-5=0在区间［2，3］内的
实根，取区间中点x0=2.5，那么下一个有根的区间是______.
【解析】令f(x)=x3-2x-5，由f(2)=-1＜0，
f(3)=16＞0，f(2.5)= ＞0得，
下一个有根的区间是(2,2.5).
答案：(2,2.5)
【规范解答】用二分法求方程的近似解
【典例】
【条件分析】
【规范解答】令f(x)=x2-5,① ………………… 2分
因为f(2.2)=2.22-5=-0.16<0,
f(2.4)=2.42-5=0.76>0,
所以f(2.2)·f(2.4)<0. ………………………………… 4分
说明函数f(x)在区间(2.2，2.4)②内有零点x0. ……… 6分
取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3,
f(2.3)=0.29>0. …………………… 8分
因为f(2.2)·f(2.3)<0,
所以x0∈(2.2,2.3).
再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25,
f(2.25)=0.062 5>0,
因为f(2.2)·f(2.25)<0,
所以x0∈(2.2,2.25). ………………… 10分
再取区间(2.2,2.25)的中点x3=2.225,
f(2.225)≈-0.049＜0,
因为f(2.25)·f(2.225)＜0,
所以x0∈(2.225,2.25),
再取区间(2.225,2.25)的中点x4=2.237 5,
f(2.237 5)≈0.006＞0,
因为f(2.225)·f(2.237 5)＜0,
所以x0∈(2.225,2.237 5),
由于|2.237 5-2.225|=0.012 5＜0.02,
所以原方程的近似解可取为2.237 5③. ………………12分
【失分警示】
【防范措施】
1.函数与方程思想的相互转化
对于函数y=f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0，如本例求方程的解，即用二分法求相应函数零点近似值的步骤求解.
2.隐含条件的利用
题目中的条件要充分利用好，尤其是一些限定条件，关系到结果数值的精确情况.如本例中的精确度为0.02，则关系到等分的次数和最后的结果.
【类题试解】用二分法求x3-x-1=0在区间(1，1.5)上的一个近似解(精确度为0.01).
【解析】设f(x)=x3-x-1,∵f(1)=-1<0,f(1.5)= >0，∴在
(1,1.5)内f(x)有零点.
取(1,1.5)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如
下：
∵|1.328 125-1.320 312 5|=0.007 812 5<0.01,
∴原方程的近似解可取为1.328 125.
1.下列函数不能用二分法求零点的是( )
A.f(x)=x3 B.f(x)=lnx+3
C.f(x)=x2+2x+1 D.f(x)=-x2+2x+2
【解析】选C.对于C，f(x)=(x+1)2≥0，不能用二分法．
2.函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间( )
A.( ) B.( )
C.( 1) D.(1,2)
【解析】选C.
f(1)=1＞0，f(2)=4＞0，
∴函数零点落在区间( 1)上．
3.用二分法求函数y=f(x)在区间［2，4］上的近似零点(精确
度为0.01)，验证f(2)·f(4)＜0，取区间［2,4］的中点
计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0所在的区
间是______.
【解析】∵f(2)·f(4)＜0,f(2)·f(3)＜0,
∴f(3)·f(4)＞0，∴x0∈(2,3).
答案：(2,3)
4.举出一个有解，但不能用二分法求出它的近似解的方程______.
【解析】x2=0有解x=0，但不能用二分法求出它的近似解.
答案：x2=0(答案不唯一)
5.某通讯公司的电话线路发生了故障，通过探测可知长为10km的电话线路，大约有200多根电线杆，如何迅速查出故障所在？
【解析】利用二分法的原理进行查找，如图，

设两地为A,B，首先从中点C开始查，用话机向两端测试，若AC正常，则断定故障在BC，再到BC中点D向两侧查找，这次若发现BD正常，则故障在CD段，再到CD中点E去查.这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过7次查找，就可将故障发生的范围缩小到50～100m之间，即一两根电线杆附近.