函数的应用
第三章
1.1.1　集合的概念
3.1　函数与方程
第三章
1.1.1　集合的概念
3.1.2　用二分法求方程的近似解
第三章
1.1.1　集合的概念
●课标展示
1．掌握用二分法求函数零点近似值的步骤．
2．了解函数零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
3．能够借助计算器用二分法求方程的近似解．
●温故知新
旧知再现
1．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调增函数，则b的取值范围为________.
2．函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为_________.
3．方程log2x＋x2＝2的实数解的个数为_____.
b≥0
－1,1,3
1
新知导学
1．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且__________＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点逐步逼近_____，进而得到零点________的方法叫做二分法．
[名师点拨]　二分法就是通过不断地将所选区间(a，b)一分为二，逐步地逼近零点的方法，即找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间内的某个数值近似地表示真正的零点．
f(a)·f(b)
一分为二
零点
近似值
2．用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤
(1)确定区间[a，b]，验证__________，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)：
若f(c)＝_____，则c就是函数的零点；
若f(a)·f(c) _____0，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]；
若f(c)·f(b) _____0，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]．
(4)判断是否达到精确度ε：
即若|a－b|_____ε，则得到零点的近似值为a(或b)；否则重复(2)～(4)．
f(a)·f(b)＜0
0
＜
＜
＜
3．二分法的应用
由函数的零点与相应方程根的关系，可以用二分法来求方程的________．
近似解
●自我检测
1．下面关于二分法的叙述，正确的是(　　)
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只有在求函数零点时才用二分法
[答案]　B
[解析]　只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错，二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错，求方程的近似解也可以用二分法，故D错．
2．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在的区间为(　　)
A．(1.25,1.5)　　　　　 B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
[答案]　A
[解析]　由于f(1.25)f(1.5)＜0，则方程的解所在的区间为(1.25,1.5)．
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)
对二分法概念的理解
●典例探究
[分析]　由题目可获取以下主要信息：
①题中给出了函数的图象；
②二分法的概念．
解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．
[解析]　利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
[答案]　B
规律总结：运用二分法求函数零点需具备的两个条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
对于二分法求得的近似解，精确度ε说法正确的是(　　)
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
[解析]　由精确度ε定义知，ε越大，零点的精确度越低．
[答案]　B
用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正实数零点(精确到0.1)．
[解析]　由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
用二分法求函数的零点问题
规律总结：1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点；中值计算两边看，
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，精确度来把关口．
[答案]　(1)A　(2)1.562 5
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长10 km的线路，电线杆的间距为100 m．如何迅速查出故障所在呢？
[分析]　考虑用二分法思想，通过找中点不断将区间一分为二，逐渐逼近在两根电线杆之间．
二分法在实际中的应用
规律总结： (1)精确度ε与等分区间次数之间有什么关系？
在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们相同的假币(重量较轻)，现在只有一台天平，请问：最多几次就可以发现这枚假币？
[解析]　将26枚金币分为两组，每组13枚，分别放于天平左右两侧测量，则假币在较轻的那一组中；
从这较轻的13枚金币中任取12枚均分为2组，分别放于天平左右两侧测量，
若天平平衡，则剩下的那一枚为假币，到此也就完成任务了；若天平不平衡，则假币在较轻的那6枚中；将较轻的6枚再均分为2组，分别置于天平上测量，则假币将会出现在较轻的那3枚中；
再从这3枚中任取两枚，若天平平衡，则未取到的那一枚为假币，若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币．
因此，发现假币最多需进行4次比较．
1．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点
C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点
D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点
[答案]　D
2．下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　)

[答案]　B
3．下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)
A．f(x)＝3x－1　　　　 B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx
[答案]　C
[解析]　(1)证明：f(x)＝lnx＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)至多有一个零点．
由于f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(2)·f(3)<0.
∴f(x)在(2,3)内有一个零点．
∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．