§3.1.2用二分法求方程的近似解
a
b
ε :艾普西隆
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数
y=f(x)的零点(zero point) 。
1.函数零点的定义：
注意：
零点指的是一个实数；
函数y=f(x)的零点就是就是方程f(x)=0的实数根。从图像上看，函数y=f(x)的零点，就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标。
一.函数零点的概念：
3.怎样求函数y＝f(x)的零点的个数？
2.方程的根与函数的零点的关系：
方程 f(x)＝0 有实数根
函数 y＝f(x) 的图象与x轴有交点
函数 y＝f(x) 有零点
数形结合
代数法
图像法
（2）将y＝f(x)变形，判断两图象交点个数
（1）求相应方程f(x)=0的根
（3）利用函数的图象、性质、零点存在性条件去求
定理
二.零点存在性定理
思考1：零点唯一吗？
思考3：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线：且f(a)·f(b)>0，是否在(a,b)内函数就没有零点？
思考2；若只给条件f(a) · f(b)<0能否保证在(a,b)有零点？
如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a) ·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c ∈ (a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
求证：函数f(x)=lnx+2x-6仅有一个零点，且在区间(2,3)内。
f(2)=_____,f(3)=_____
如何求出这个零点？
缩小零点所在的区间范围，直到满足精确度。
思考
单调
由前面的图像我们已经知道函数的零点个数是一个在区间(2,3)内，那么进一步的问题是如何找出这个零点（精确到0.01）？
问题1：那么又用什么方法来将区间逐步缩小呢？
取区间中点
问题2：区间分成两段后，又怎样确定在哪一个小的区间内呢？
下面我们一起来将区间逐步缩小从而找到其近似零点。
同理再取 　　 的中点 　 因为 故函数的零点落在区间
再取 的中点 因为 故函数的零点落在区间 内
再取 的中点 因为 故函数的零点落在区间 内
再取 的中点 因为 故函数的零点落在区间 内
（2.5，3）
2.75
(2.5,2.75)
(2.5,2.75)
2.625
(2.5,2.625)
(2.5,2.625)
2.5625
(2.5,2.5625)
(2.5,2.5625)
2.53125
(2.53125,2.5625)
再取 的中点 因
为 故函数的零点落在
区间 内
(2.53125,2.546875)
2.5390625
(2.53125,2.5390625)
再取 的中点 因
为 故函数的零点落在
区间 内
(2.5312,2.5625)
2.546875
(2.53125,2.546875)
（2,3）
1
2.5
-0.084
（2.5,3）
0.5
2.75
0.512
(2.5,2.75)
0.25
2.625
0.215
（2.5,2.625）
0.125
2.5625
0.066
（2.5,2.5625）
0.0625
2.53125
-0.009
（2.53125,2.5625）
0.03125
2.546875
0.029
（2.53125,2.546875）
0.01562
2.5390625
0.010
(2.53125,2.5390625)
0.0078125
2.53515625
0.001
区间确实是缩小了。
而且，当精确度为0.01时，由于
所以我们将＝2.53125作为函数　　　　　　　　　的近似根（亦可将该区间内任意一点作为其近似根）。
二分法（bisection method）：象上面这种求方程近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法。
定义如下：
对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）
关键点
1.零点的初始区间的确定
2.缩小区间的方法
3.零点的精确化
1.确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε；
3.计算f(c)；
2.求区间(a,b)的中点c；
（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；
（2）若f(a)· f(c)<0，则令b= c（此时零点x0∈(a, c) );
（3）若f(c)· f(b)<0，则令a= c（此时零点x0∈( c, b) ).
4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4．
一般步骤：
编写程序
用流程图表示如下：
否
是
否
是
例题1
借助计算器或计算机用二分法求方程　　　　　　　　的近似解（精确到0.1）。
解：
用计算器或计算机作出函数
的对应值表与图象：
观察右图和表格，可知
，说明在区间（1，2）内有零点
取区间（1，2）的中点
，用计算器可的得
因为
，所以
，再取
的中点
，
用计算器求得
，因此
，所以
。
同理可得
，由
，此时区间
的两个端点，精确到0.1的近似值是1.375（或1.4375）
思考：下列函数中能用二分法求零点的是____.
(1) (4)
1.确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε；
3.计算f(c)；
2.求区间(a,b)的中点c；
（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；
（2）若f(a)· f(c)<0，则令b= c（此时零点x0∈(a, c) );
（3）若f(c)· f(b)<0，则令a= c（此时零点x0∈( c, b) ).
4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤2~4．
用二分法求函数零点近似值.
步骤：
书面作业
课堂练习
<<教材>>
P.91 练习1.2
<<教材>>
P.92 习题3.1 A组2.3.4 B组1