第2课时 指数函数及其性质的应用
1.复习回顾指数函数的概念、图象和性质；
2.通过典型例题初步掌握指数函数在解决实际问题中的应用；
3.通过典型例题初步掌握指数函数的图象和性质在解题中的应用
课前自主学案
1．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)，当______时为增函数；当________时为减函数．
2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)恒过定点______，其值域为___________
3．函数f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值是 .
a>1
0
(0,1)
(0，＋∞)．
一般地，函数y=ax（a＞０且a≠１），叫做指数函数.
1.指数函数的定义
2.指数函数的图象与性质
探究点1 指数函数在实际问题中的应用
例8.截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？（精确到亿）
分析：可以从经过1年后、2年后、3年后等具体的人口数入手，归纳经过x年后的人口数的函数关系式，再把经过20年后的人口数表示出来，进行具体的计算。
解：设今后人口的年平均增长率是1%，经过x年后，我国的人口数为y亿.
经过1年即2000年，人口数为
经过2年即2001年，人口数为
（亿）；
（亿）.
经过3年即2002年，人口数为
……
所以，经过x年，人口数为
当x=20时， （亿）。
所以，经过20年后，我国的人口数最多为16亿。
（亿）；
【点评】在实际问题中，经常会遇到类似例8的指数增长
模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则 形如
的函数是一种指数型函数，这是非常有用的函数模型。
探究点2 人口增长率问题的进一步探究
（1）如果人口增长率提高一个百分点，利用计算器分别计算20年，33年后我国的人口数。
这时函数模型是
所以，20年后的人口数是
33年后人口数是
以1999年的13亿为基准。
（2）如果人口年平均增长率保持在2%，利用计算器分别计算2020到2100年，每隔5年相应的人口数。
以例题中计算的2020年我国的人口数16亿为基准。
这时函数模型是
2025年的人口数是
2030年的人口数是
2035年的人口数是
2040年的人口数是
2045年的人口数是
2050年的人口数是
2055年的人口数是
2060年的人口数是
2065年的人口数是
2070年的人口数是
2075年的人口数是
2080年的人口数是
2085年的人口数是
2090年的人口数是
2095年的人口数是
2100年的人口数是
（3）你看到人口的增长成什么趋势？
我们使用软件画出函数 的图象
从这个图象上可以看出随着x的增大，函数值的增长非常迅速，呈现一种“爆炸式”的增长趋势。
（4）你是如何看待我国的计划生育政策的？
计划生育是我国的基本国策，是千年大计！
探究点3 指数函数在解题中的应用
例9.将下列各数值按从小到大的顺序排列
分析：根据指数函数的性质，指数幂的运算法则进行，注意采用中间值0和1进行比较。
解：
所以，
例10.解下列不等式：
分析：根据指数函数的单调性把指数不等式转化为代数不等式。
解：（1）由 ，得
根据指数函数的单调性得
解这个不等式得
（2）当0
3x-1≥2x-4
解这个不等式得x≥-3.
当a>1时，根据指数函数的单调性得不等式3x-1≤2x-4
解这个不等式得x≤-3.
所以，当0
当a>1时，不等式的解是x≤-3.
【点评】本题的不等式通常称为指数不等式，解这类不等式的基本方法是根据指数函数的单调性转化为代数不等式，在底数不确定时要注意分类讨论。
1.某工厂现在的年利润是1000万元，该工厂年利润的增长率是20%，则10年后该工厂的年利润是多少万元？（精确到万元）
答案：
2.比较下列各数的大小：
答案：
3.解方程
解析：
解方程得x=1
答案：
1.指数型函数模型是应用十分广泛的一类函数模型，当指数函数的底数大于1时，随着自变量的增加，函数值呈现“爆炸式”增长。
2.根据指数函数性质进行数值的大小比较时，要注意采用中间值0、1进行归类比较。
3.解指数不等式或者指数方程时，要注意根据指数函数的单调性进行转化，转化为代数不等式或者代数方程求解，在底数不确定时要注意分类讨论，这里体现了化归转化思想和分类讨论思想。
除了人格以外，人生最大的损失，莫过于失掉自信心了。
比较幂大小的方法
(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断.
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断.
(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值来比较.
幂值大小的比较
【例1】比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2;(2)0.6-1.2和0.6-1.5;(3)1.50.3和0.81.2;
【审题指导】本题中(1)(2)的底数相同可依据指数函数的单调性来比较，而(3)中底数不同且指数不同，可借助中间值来比较.
【规范解答】设y= u=x2+2x-3.
y= 在R上为减函数.
u=x2+2x-3=(x+1)2-4在(- ∞,-1］上为减函数，在
［-1，+∞)上为增函数.
根据复合函数的性质知，原函数y=f(x)的单调递减区间是［-1，+∞),单调递增区间是(-∞,-1］.
【解析】
2.已知0
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
【解析】选A.∵0
3.当x>0时，(a-1)x<1恒成立，则实数a的取值范围是( )
(A)a>2 (B)1
(C)a>1 (D)a∈R
【解析】选B.∵x>0时，(a-1)x<1恒成立，
∴0
4.函数y= (x≥0)的值域是______.
【解析】∵x≥0,∴0< ≤ =1，即函数的值域是
(0，1］.
答案：(0，1］
5.不等式0.52x>0.5x-1的解集为______(用区间表示).
【解析】∵y=0.5x在R上单调递减，
又0.52x>0.5x-1,∴2x
答案：(-∞,-1)
6.已知 求函数y=2x的值域.
【解析】由 得22x≤24-2x,
∴2x≤4-2x,解得x≤1,∴0<2x≤21=2,
∴函数的值域是(0，2］.
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2011·北京高一检测)函数y= 的定义域是( )
(A)(-∞,0) (B)(-∞,0］
(C)［0,+∞) (D)(0,+∞)
【解析】选C.由2x-1≥0,得2x≥20,∴x≥0.
2.已知( )a>( )b，则a、b的大小关系是( )
(A)1>a>b>0
(B)a
(C)a>b
(D)1>b>a>0
【解析】选B.∵0< <1,∴y=( )x在R上单调递减，又∵( )a>( )b,∴a
3.(2011·长泰高一检测)指数函数y=b·ax在［b,2］上的最大值与最小值的和为6，则a=( )
(A)2 (B)-3
(C)2或-3 (D)-
【解析】选A.由于函数是指数函数，因而b=1,又因为此函数在［1，2］上是单调函数，所以a+a2=6,解得a=2或a=-3(舍去).
4.(2011·浏阳高一检测)方程( )x=-x+2的解的个数为
( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【解题提示】解答本题可采用数形结合的方法.
【解析】选C.在同一坐标系中画出
函数y=( )x和y=-x+2的图象，
观察可知有两个交点，即方程有两个解.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知a= ,函数f(x)=ax，若实数m、n满足f(m)>
f(n)，则m、n的大小关系为_______.
【解析】∵0
由f(m)>f(n)，得m
答案：m
6.(2011·南漳高一检测)定义运算a*b=
则函数f(x)=1*2x的最大值为______.
【解析】当x≥0时，2x≥1;当x<0时，2x<1.
∴f(x)=1*2x=
∴f(x)的最大值是1.
答案：1
三、解答题(每小题8分，共16分)
7.已知函数f(x)=ax在x∈［-2,2］上恒有f(x)<2，求a的取值范围.
【解题提示】本题中函数的底数是参数，注意分类讨论.
【解析】当a>1时，函数f(x)=ax在［-2，2］上单调递增，此时f(x)≤f(2)=a2,
由题意可知a2<2,即a< ，所以1
当0
由题意可知a-2<2,即a> ，所以
综上所述，所求a的取值范围是( ，1)∪(1， ).
8.设0≤x≤2，求函数y=4x-2·2x+1+1的值域.
【解析】设2x=t,因为0≤x≤2,所以1≤t≤4.
所以原函数可化为y=t2-4t+1=(t-2)2-3,1≤t≤4.
因为对称轴t=2∈［1,4］,
所以当t=2，即2x=2,x=1时，y有最小值-3.
又因为端点t=4较t=1离对称轴t=2远，
所以当t=4，即2x=4,x=2时，y有最大值1.
故函数的值域为［-3，1］.
【方法技巧】关于指数型函数的最值的求法:
指数型函数的最值问题常见类型有：化为指数函数型，化为二次函数型，化为反比例函数型等.形如y=af(x)型的最值问题，通常将f(x)换元，化为指数型的最值问题(求出f(x)的范围后利用指数函数图象求解)；形如y=(ax)2-kax+b型的最值问题通常将ax换元，化为二次函数型最值问题(求出ax的范围后利用二次函数图象求解).
【挑战能力】
(10分)设函数f(x)= - ,
(1)证明函数f(x)是奇函数；
(2)证明函数f(x)在(-∞,+∞)内是增函数；
(3)求函数f(x)在［1，2］上的值域.
【解析】
