（二）
指数函数及其性质
【教学重点】
【教学目标】
【教学难点】
课程目标
【教学手段】
多媒体电脑与投影仪
指数函数的概念和性质；
用数形结合的方法从具体到一般地探索概括指数函数的性质
使学生了解指数函数模型的实际背景.
理解指数函数的概念和意义,能画出具体指数函数的图象.
体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如具体到一般的过程、数形结合的方法等.
复习回顾
1.指数函数:函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数其中x是自变量,函数定义域是R.
2.指数函数的图象和性质：
在第一象限里,图象从低到高,底数逐渐变大.
【3】在同一坐标系下,函数y=ax,y=bx,
y=cx, y=d x的图象如下图,则a, b, c, d, 1之间从小到大的顺序是__________________.
【4】指数函数 满足不等式 ,则它们的图象是 (    ).
C.
A.
B.
D.
D
【3】已知函数 f(x)是奇函数,且当x > 0时,f(x)=2x+1,求当x＜0时,f(x)的解析式.
又因为f(x)是奇函数,
∴ f(-x)=-f(x).
解:因为当 x>0 时,
∴当 x ＜0时,-x >0,
即
所以当x＜0时,
图像过定点问题
例2.函数y＝ax-3＋2(a＞0,且a≠1)必经过哪个定点？
点评:函数y＝ax-3＋2的图象恒过定点(3,３),实际上就是将定点(0,1)向右平移3个单位,向上平移2个单位得到.
由于函数y＝ax(a＞0,且a≠1)恒经过定点(0,1),因此指数函数与其它函数复合会产生一些丰富多彩的定点问题
【1】函数y＝ax+5-1（a＞0,且a≠1）必经过哪个定点？
变式练习
2.图像过定点问题
【2】函数 恒过定点(1,3)则b=____.
例4.设a是实数, (1)试证明对于任意 a, f(x)为增函数；
证明:任取x1,x2 ,且
f(x1)－f(x2)=
∵ y=2x在R上是增函数,且x1＜x2 ,
∴f(x1)-f(x2)＜0,
即 f(x1)＜f(x2).
故 对于a 取任意实数,f(x) 为增函数.
4.单调性与奇偶性问题
解:若 f ( x ) 为奇函数,则 f(-x )=-f (x),
利用 f(0)= 0
例4.设a是实数, (2)试确定a的值,使f(x)为奇函数.
∴ a = 1.
【1】已知定义域为R的函数 为奇函数,则a=__, b=_____.
变式练习
2
1
【2】设a>0, 在R上为偶函数,(1)求a, (2)证明函数f(x)在(0,+∞)上为增函数.
例1.讨论函数 的单调性,并求其值域.
解:
任取x1,x2∈(-∞,1],且x1< x2 ,
∵f(x1)>0, f(x2)>0,
指数形式的复合函数的单调性(奇偶性)
则
∵ x1所以 f( x ) 在 (-∞,1]上为增函数.
又 x2 - 2x =(x -1)2 -1≥-1,
所以函数的值域是(0,5].
此时 (x2-x1)(x1+x2-2)<0.
例4.讨论函数 的单调性,并求其值域.
∴ x2-x1>0, x1+x2-2<0.
【1】函数 的单调增区间是
【2】函数 的增区间为 ________. 值域为_________.
(－∞,1]
练一练
【3】求函数 的定义域为________
4.求证函数 是奇函数,且是增函数.
(0,81]
例2.求证函数 是奇函数,并求其值域.
1.指数形式的复合函数的单调性(奇偶性)
证明：函数的定义域为R,
所以f(x)在R上是奇函数.
例2.求证函数 是奇函数,并求其值域.
1.指数形式的复合函数的单调性(奇偶性)
解：
所以函数f(x)的值域为(-1,1).
在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y=2x的图象的关系.
解：⑴列出函数数据表,作出图像
问题1.
①将指数函数y=2x的图象向左平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x+1的图象;
②将指数函数y=2x的图象向右平行移动2个单位长度,就得到函数y=2x-2的图象.
归纳总结
【1】若函数f(x) = 3x 2,把图象向右平移 1 个单位,则得到函数 ____________ 的图象；
若把函数 f ( x ) 的图象向左平移2 个单位,则得到函数 ____________ 的图象；
若把函数 f ( x ) 的图象向下平移 3 个单位,则得到函数 _________ 的图象；
若把函数 f ( x ) 的图象向上平移 4 个单位,则得到函数 _________ 的图象.
y=3x2+4
y=3(x－1)2
y=3(x+2)2
y=3x2－3
规律：左加右减；上加下减
变式训练
【2】函数y=f(x+1)+1的图象可由函数y=f(x)的图象经过下述哪种变换得到.…………( )
(A)向左平移一个单位，再向上平移一个单位；
(B)向左平移一个单位，再向下平移一个单位；
(C)向右平移一个单位，再向上平移一个单位；
(D)向右平移一个单位，再向下平移一个单位；
A
(1)y=f(x)
⇒y=f(x+a)
上下平移
(2)y=f(x)
⇒y=f(x)+k
☞函数图象的平移变换规律：
左右平移
【3】若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有……( ).
例1. 已知函数 作出函数图象,求定义域、
值域,并探讨与图象 的关系.
所以,定义域为R,值域为(0,1].
保留 在y轴右侧的图象,该部分翻折到y轴的左侧,这个关于y轴对称的图形就是
的图象.
1
两图象关系
【3】作出函数
的图像,求定义域、值域.
定义域:R,值域:(0,1].
变式训练
说出下列函数的图象与指数函数 y=2x 的图象的关系,并画出它们的示意图.
问题2.
（x,y)和(-x,y)关于y轴对称！
（x,y)和(x,-y)关于x轴对称！
（x,y)和(-x,-y)关于原点对称！
(1) y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 对称；
(2) y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 对称；
(3) y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 对称.
x 轴
y 轴
原 点
分别在同一坐标系中作出下列各组函数的图象,并说明它们之间有什么关系？
由 y=f(x) 的图象作 y=f(|x|) 的图象：保留y=f(x)中y轴右侧部分,再加上这部分关于y轴对称的图形.
问题3.