1.3.2 奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2．掌握判断函数奇偶性的方法．
3．了解奇函数和偶函数的图象的特点．
课前自主学习
1．函数奇偶性的概念
(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内_____一个x，都有___________ ，那么函数f(x)就叫做偶函数．
(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内_____一个x，都有____________ ，那么函数f(x)就叫做奇函数．
2．奇、偶函数的图象
(1)偶函数的图象关于____对称．
(2)奇函数的图象关于_____对称．
自学导引
任意
f(－x)＝f(x)
任意
f(－x)＝－f(x)
y轴
原点
1．判断函数的奇偶性为什么要判断定义域在x轴上所示的区间是否关于原点对称呢？
答：由定义知，若x是定义域内的一个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域在x轴上所示的区间关于原点对称．即：如果所给函数的定义域在x轴上所示的区间不是关于原点对称，这个函数一定不具有奇偶性．例如：函数f(x)＝x3在R上是奇函数，但在[－2,1]上既不是奇函数也不是偶函数．
自主探究
2．有没有既是奇函数又是偶函数的函数？
答：有．如f(x)＝0，x∈(－5,5)．
1．函数f(x)＝x＋x3的奇偶性为 (　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：∵函数的定义域为R，且f(－x)＝－x－x3＝－(x＋x3)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
答案：A
预习测评
2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　)
解析：图象关于原点或y轴对称的函数具有奇偶性．选项A，D中的图形关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C中的图形虽然关于坐标原点对称，但是过(0，－1)和(0,1)两点，这说明当x＝0时，y＝±1，不符合函数的概念，不是函数的图象，故排除；选项B中图形关于y轴对称，是偶函数．故选B.
答案：B
3．已知函数y＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1，则f(－2)－f(－3)＝________.
解析：函数y＝f(x)为奇函数，故f(－x)＝－f(x)，则f(－2)－f(－3)＝－f(2)＋f(3)＝1.
答案：1
4．如果定义在区间[2－a,4]上的函数f(x)为偶函数，那么a＝________.
解析：因为奇偶函数的前提是定义域必须关于原点对称，所以2－a＝－4，∴a＝6.
答案：6
课堂讲练互动
1．函数奇偶性定义的理解
(1)函数的奇偶性与单调性的差异．奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势．奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数．
要点阐释
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．由函数奇偶性的定义知，若x是定义域中的一个数值，则－x必然在定义域中，因此，函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在数轴上所示的区间关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则函数一定不具有奇偶性．如函数y＝2x在(－∞，＋∞)上是奇函数，但在[－2,3] 上则无奇偶性可言．
(3)既奇又偶函数的表达式是f(x)＝0，x∈A，定义域A是关于原点对称的非空数集．
(4)若奇函数在原点处有定义，则有f(0)＝0.
2．用定义判断函数奇偶性的一般步骤及方法
函数根据奇偶性分为：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．
(1)要判断一个函数是否具有奇偶性，应按照函数奇偶性的定义，先判断这个函数的定义域是否关于原点对称(因为一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数，即函数的定义域关于原点对称是这个函数具有奇偶性的前提条件)，然后再确定f(－x)与f(x)的关系：①若f(－x)＝－f(x)，则此函数为奇函数；②若f(－x)＝f(x)，则此函数为偶函数；③若f(－x)＝－f(x)，同时f(－x)＝f(x)，则此函数为既奇又偶函数．
3．奇、偶函数的图象特征
(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴成轴对称图形．反之，如果一个函数的图象关于y轴成轴对称图形，则这个函数是偶函数．
(3)由于奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因而研究这类函数的性质时，只需通过研究函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上的情形，便可推断出函数在整个定义域上的性质(或图象)．
(4)从奇、偶函数图象可以看出：奇函数在对称的两个区间上的单调性是一致的；偶函数在对称的两个区间上的单调性是相反的．
题型一　函数奇偶性的判断
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
典例剖析
解：(1)函数定义域为R.
f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
(2)函数的定义域为{x|x≠－1}．
不关于原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
此时f(x)＝0，x∈{－1,1}．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
点评：(1)用定义判定函数奇偶性的一般步骤为：
①先求定义域，考查定义域是否关于原点对称；
②有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简，
再找f(－x)与f(x)的关系；判断函数奇偶性可用的变形形式：若f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)为奇函数；若f(－x)－f(x)＝0，则f(x)为偶函数．
解：(1)f(x)定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
题型二　分段函数奇偶性的判断
解：函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
①当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)．
②当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)．
由①②知，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，
都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
点评：(1)分段函数的奇偶性应分段判断f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．
(2)若f(x)是定义在R上的奇函数时必有f(0)＝0.
(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断．
解：函数f(x)的定义域是R，关于原点对对称，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x－1＝－(x＋1)＝－f(x)，
另一方面，当x>0时，－x<0，
f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)＝－f(x)，
而f(0)＝0，∴f(x)是奇函数．
题型三　利用函数奇偶性作图
【例3】 如图，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出它在y轴右侧的图象，并比较f(2)与f(3)的大小．
解：偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上的任一点P(－x，f(x))关于y轴的对称点为P′(x，f(x))，如图为补充后的图象，易知f(2)>f(3)．
点评：利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．
3．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈ [0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．
解析：由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．

答案：(－2,0)∪(2,5)
误区解密　判断函数奇偶性时，
因忽略定义域而出错
错因分析：错解中没有判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，而直接应用定义判断奇偶性．
正解：函数f(x)的定义域为{x|－1≤x<1}，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数．
纠错心得：判断所给函数的奇偶性时，在求出函数的定义域以前，不能化简函数的解析式，否则会导致函数的定义域发生变化，得到错误结论．
1．在奇函数与偶函数的定义域中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件．
2．解题中可以灵活运用f(x)±f(－x)＝0对奇偶性作出判断．
3．奇函数f(x)若在x＝0处有意义，则必有f(0)＝0.
课堂总结