观察它们有什么样的特征？
鹦鹉螺壳
我们发现上面几个图形和函数图象都具有对称性，有的关于直线对称，有的关于点呈中心对称，有的有特殊的对称性，那么在我们数学领域里，我们会研究函数图象的某对称性！
1.3.2 奇偶性
理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性.
通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．
通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力．
函数的奇偶性及其几何意义.
判断函数的奇偶性的方法与格式.
观察下图图像有什么共同的特征呢？
这两个函数的图像都关于y轴对称
f(x)=x2
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
1
4
9
1
4
9
相应的两个函数值对应表是如何体现这些特点的呢？
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
1
2
3
1
2
3
由此得到f(-x)=(-x)2=x2 ，即f(-x)=f(x)
即相应两个函数值相同
对于R内任意的一个x，都有f(-x)=(-x)2=x2 =f(x)，这时我们称函数f(x)=x2 为偶函数.
函数的奇偶性的定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)偶函数.
知识要点
观察下图图像有什么共同的特征呢？
f(x)=x
两个函数的图像都关于原点对称.
f(x)=x
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
-1
-2
-3
1
4
9
f(x)=x3
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
-1
-8
-27
1
8
27
相应的两个函数值对应表是如何体现这些特点的呢？
由此得到f(-x)=-x=-f(x) ，即f(-x)=-f(x).
由此得到f(-x)=- x3 =-f(x),即f(-x)=-f(x).
当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数.
对于R内任意的一个x，都有f(-x)=-x=-f(x)，这时我们称函数f(x)=x为奇函数.
函数的奇偶性的定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)奇函数.
知识要点
1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.
2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
注意
奇偶函数图象的性质:
⑴ 奇函数的图象关于原点对称.
反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,
那么这个函数为奇函数.
⑵ 偶函数的图象关于y轴对称.
反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,
那么这个函数为偶函数.
知识要点
奇偶函数图象的性质可用于：
① 判断函数的奇偶性.
② 简化函数图象的画法.
注意
（1）奇函数
（2）根据奇函数的图
像关于原点对称
例1 说出下列函数的奇偶性:
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
①f(x)=x4 _______ ④ f(x)= x -1 ________
② f(x)=x ________
奇函数
⑤f(x)=x -2 ________
偶函数
③ f(x)=x5 ________
⑥f(x)=x -3 _____________
结论：一般的，对于形如 f(x)=x n 的函数，
若n为偶数，则它为偶函数.
若n为奇数，则它为奇函数.
例2 判断下列函数的奇偶性：
判断奇偶性，只需验证f(x)与f(-x)之间的关系.
定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件。
(1) 先求定义域，看是否关于原点对称.
(2) 再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
用定义判断函数奇偶性的步骤：
知识要点
例3：判定下列函数是否为偶函数或奇函数.
解：（1）对于函数f(x)=5x，其定义域为
（-∞，+ ∞ ）
对于定义域中的每一个x，都有
f(-x) = -5x = -f(x)
所以函数f(x)=5x为奇函数.
（3）对于函数 的定义域为{x∣x≠0}
对于定义域中的每一个x，都有
（4）对于函数f(x)=3的定义域为（-∞，+ ∞ ）
对于定义域中的每一个x，都有f(-x)=3=f(x)，所以函数f(x)=3是偶函数.
奇函数
偶函数
既奇又偶函数
非奇非偶函数
（5）f(x)=0.
（5）对于函数f(x)=0的定义域为（-∞，+ ∞ ）
对于定义域中的每一个x，都有f(-x)=0=f(x)=-f(x)，所以函数f(x)=0既是偶函数也是奇函数.
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
课后思考一下，做一做吧！
例4 判断函数 是否具有奇偶性？
例5 已知函数y=f(x)是定义在R上奇函数，当 
求（1)f(-1) ； (2)若t<0,求f(t).
1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
如果都有f(－x)=-f(x) f(x)为奇函数
如果都有f(－x)=f(x) f(x)为偶函数
2、两个性质：
一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称
一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称
3.判断函数奇偶性的步骤和方法：
先看定义域是否关于原点对称，
然后在找f(x)与f(-x)间的关系．
4.奇函数，偶函数作一些简单运算后会出现一些规律：
奇+奇=奇 偶+偶=偶
奇X奇=偶 偶X偶=偶
5.已知函数性质，求其它区间上函数的解析式．
o
y
x
3.已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象.
4.已知函数f(x)既是奇函数又是偶函数.求证：f(x)=0
证明：因为 f(x)既是奇函数又是偶函数
所以f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x)
所以f(x)= -f(x)
所以2f(x)=0
即f(x)=0.
这样的函数有多少个呢？
有无数个，因为f(x)只是解析式的特征，若改变其函数的定义域，显然函数就不同了，例如：f(x)=0,x∈[-3,3]，与f(x)=0,x ∈[-1,1].
5.判断函数f(x)=kx+b的奇偶性
解：当b=0时，f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数；
当b≠0时，f(x) ≠-f(x)且f(-x)≠f(x)］
所以说f(x)不是奇函数也不是偶函数.
2.略.